Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. при этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней. а) докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины. б) найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Диагональ куба 13√3
Шары равны. Оба касаются по 3 разных грани куба. 
Картинка симметрична относительно главной диагонали куба. 
Шары касаются друг друга в центре куба.
Центр каждого шара отстоит от конца диагонали на расстояние R√3 - так как касается каждой грани, и отстоит от каждой оси куба на R.

Главная диагональ куба складывается из 
13√3  = R√3 + R + R + R√3 

Откуда 
13√3= (2√3+2)R
R= 13√3/(2√3+2)=13√3(√3-1)/4

Площадь тр-ка равна половине произведения стороны тр-ка на высоту, опущенную на эту сторону, т.е. S=½*12*8=48 см кв. Согласно следствию из теоремы о средних линиях тр-ка, площадь тр-ка, образованного средними линиями, в 4 раза меньше площади исходного тр-ка, т.е. равна 12 см кв.

2. биссектрисы углов прямоугольника образуют углы 45°, поэтому тр-к ВКС - равнобедренный. Тр-к СДК - прямоугольный равнобедренный, поэтому КД=СД=6 см. Также находим, что АК=6 см. Значит АД=ВС=12 см. По т-ме Пифагора найдем, что СК=ВК=6√2 см. Найдем площадь тр-ка ВКС. S=½*АВ*СК*sin45=½*12*6√2*1/√2=36 см кв.

Обозначаем S(ABC) =S⇒S(BAA₁) =S/2 (т.к. AA₁ - медиана ΔABC).
S(A₁PB₁C) =S(BCB₁) - S(BA₁P) =(CB₁/CA)*S -(A₁P/A₁A)*(S/2) ,
где CB₁/CA=14/29  и  A₁P/A₁A=7/22 .

Действительно:
CB₁/AB₁=BC/BA =14/15 (свойство биссектрисы BB₁ в ΔABC)  ⇒ CB₁=14k ,AB₁ =15k ,CA=CB₁+AB₁ =29k ⇒ CB₁/CA =14/29.
---
аналогично :
A₁P/PA=BA₁/BA =7/15 (свойство биссектрисы BP в ΔABA₁)  ⇒A₁P=7m,  PA =15m , A₁A=A₁P+PA) =22m ⇒ A₁P/A₁A =7/22.

Таким образом  получили:  S(A₁PB₁C) =S*14/29 -(S/2)*(7/22).
Площадь треугольника вычисляем по формуле Герона :
 S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√21(21-14)(21-15)(21-13) =√21*7*6*8 = 
√(7*7*3*3*2*2*4) =7*3*4 =84.

S(A₁PB₁C) =84*(14/29) -42*(7/22) =42*7(4/29 -1/22) =21*7*59/319≈ 27,2 .