Втреугольнике abc известно, что ab=2, bc=4, ac=3, bn - биссектриса треугольника. прямая, проходящая через вершину a перпендикулярно bn, пересекает сторону bc в точке m. докажите, что биссектриса угла с делит пополам отрезок mn.

Пусть Е - точка пересечения MA и BN. Тогда треугольник MAB - равнобедренный (его биссектриса BE по условию является и его высотой), т.е. BM=AB=2, откуда CM=BC-BM=4-2=2. Т.к. BN - биссектриса треугольника ABC, то CN/NA=BC/AB=4/2=2, т.е. CN=2/3·AC=2/3·3=2. Итак, CM=CN=2, т.е. треугольник NCM - равнобедренный, и значит, его биссектриса CF является одновременно и медианой, что и требовалось.

АВСД - трапеция  ,  АВ=СД=37 см ,  ВС=13 см , ВД - биссектриса ∠В .

 Так как ВД - биссектриса ∠В , то  ∠АВД=∠СВД .

Так как ВС║АД и ВД - секущая, то ∠СВД=∠АДВ как внутренние накрест лежащие углы, и тогда  ∠АВД=∠АДВ  ⇒   ΔАВД - равнобедренный, АВ=ВД=37 см .

 Проведём  ВН⊥АД и СМ⊥АД . ВСМН - прямоугольник и МН=ВС=13 см

АН=МД=37-13=24 см ,  АН=МД=24:2=12 см .

Рассмотрим ΔАВН .

По теореме Пифагора  ВН=√(АВ²-АН²)=√(37²-12²)=√1225=35 см .

ВН - высота трапеции.

Площадь трапеции:

S=(АД+BC)/2*ВН=(37+13)/2*35=50/2*35=25*35=875 см²

Рассмотрим правильный многоугольник. Я нарисовал 5-угольник для примера.
Проведем радиусы вписанной окружности r и хорду b между ними.
Угол α = 360/n, угол β = 180 - α = 180 - 360/n
По формулам приведения cos (180 - α) = -cos α
По теореме косинусов
b^2 = r^2 + r^2 - 2r*r*cos α = 2r^2*(1 - cos(360/n))
b^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 - 2*a/2*a/2*cos β = 2(a/2)^2*(1 + cos(360/n))
Приравниваем правые части этих формул
2r^2*(1 - cos(360/n)) = 2(a/2)^2*(1 + cos(360/n))
Кроме того, по условию a/r = 2; то есть a/2 = r. Получаем
2r^2*(1 - cos(360/n)) = 2r^2*(1 + cos(360/n))
1 - cos(360/n) = 1 + cos(360/n)
cos(360/n) = 0
360/n = 90
n = 4
ответ: это квадрат.