Шеңбер бойында жататын А нүктесі арқылы AB диаметрі мен AC хордасы жүргізілген. АС =8 және ВАС =30°. AB диаметріне перпендикуляр CM хордасы жіргізілген және олар к нүктесінде қиылысады. СМ хордасының ұзындығын табыңыз.

В треугольнике АВС угол В = 60 градусов, угол С = 90 градусов, тогда, угол В = 90 - 60 = 30 градусов.
Согласно теореме, против угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы. Гипотенуза - АВ = 8√3 см, тогда катет, лежащий против угла в 30 градусов (СВ) = 4√3 см.
Провели медиану СМ. Она делит гипотенузу на две равные части. Отсюда, АМ = МВ = 4√3 см.
Рассмотрим треугольник МСВ. По теореме косинусов,
СМ² = СВ² + МВ² - 2*СВ*МВ*cosB
cosB = cos60 = 1/2
СМ² = СВ² + МВ² - СВ*МВ (после преображний во второй части уравнения)
СМ² = (4√3)² + (4√3)² - 4√3*4√3
СМ² = 16*3 + 16*3 + 16*3
СМ² = 16 (3+3+3)
СМ² = 16*9
СМ = √16*√9
СМ = 4*3
СМ = 12  см
ответ : СМ = 12 (см)

Докажем, что треугольники ABO и CDO равновелики (имеют равную площадь). Действительно, треугольники ABD и ACD равновелики, так как у них общее основание AD, а высоты, проведённые к этому основанию из точек B и D равны (расстояние от точки B до прямой AD равно расстоянию от точки C до прямой AD). Площадь треугольника ABO равна разности площадей ABD-AOD, а площадь треугольника CDO равна разности площадей ACD-AOD. Так как S(ABD)=S(ACD), треугольники ABO и CDO равновелики. Так как точка O равноудалена от сторон AB и CD, высоты OE и OF равны, так как OE - расстояние от O до AB, OF - расстояние от O до CD. Обозначим площадь треугольников ABO и CDO за S, тогда S=1/2*AB*OE=1/2*CD*OF. Из равенства OE=OF следует равенство AB=CD. Значит, трапеция равнобедренная, что и требовалось доказать.