Сколько пар противоположных сторон пятиугольной пирамиды?

Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник...вот ответ

Для начала находим радиус сферы их формулы ее площади S = 4*п*R*R, то есть: R = корень(S/(4п)) = корень(100п/4п) = корень(25) = 5

Теперь найдем радиус окружности по которой конус качается сферы из формулы длины окружности: L = 2*п*r или r = L/2п = 6п/2п = 3

Теперь рассмотрим осевое сечение конуса в котором центр вписанной сферы лежит ниже центра окружности касания на величину x = корень(R*R - r*r) = корень(5*5-3*3) = 4

Из подобия треугольников в этом сечении видим, что угол у основания конуса (между образующей и основанием) равен углу между высотой конуса и радиусом вписанной сферы в точку ее касания с боковой поверхностью. То есть синус этого угла ф равен r/R (а косинус x/R)

С другой стороны радиус сферы R и радиус основания Ro относятся как тангенс половины угла ф: tg(ф/2) = R/Ro или  Ro = R/tg(ф/2) 

tg(ф/2) = (1-cos(ф))/sin(ф) = (1-4/5)/(3/5) = 1/3

Получаем окончательно

Ro = 5/(1/3) = 15

1. а) угол 1=углу 2, => треугольник равнобедренный
сумма углов треугольника равна 180 градусам. 
обозначим искомый угол за х.
x+x+(x+30)=180
x+x+x+30=180
3x=150
x=50
б) снова обозначим переменную за x и воспользуемся тем же правилом.
x+(x-20)+(x-40)=180
x+x-20+x-40=180
3x-60=180
3x=240
x=80
2) треугольник равнобедренный, <= A=B=65 (усл)
внутренний угол C равен 180-65-65=50 (т.к. сумма углов треугольника равна 180)
внешний угол С равен 180-Свнут=180-50=130
C=130

если не ошиблась в расчетах, все должно быть верно.