Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 7 найдите проекцию меньшего катета на гипотенузу. рисунок, дано, найти и решение и через abcd.

Дано: Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 7 
Найти: проекцию меньшего катета на гипотенузу. 
Решение:
--- 1 ---
Гипотенуза по т. Пифагора
√(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25
--- 2 ---
Площадь треугольника АСД через катеты
S = 1/2*7*24 = 7*12 = 84 см²
Площадь треугольника АСД через гипотенузу и высоту
S = 1/2*25*ВД = 25/2*ВД
Приравниваем
25/2*ВД = 84
ВД = 168/25
--- 3 ---
В ΔАВД по т. Пифагора
7² = (168/25)² + АВ²
АВ² = (7*25/25)² - (168/25)² = (175/25)² - (168/25)² = (175 - 168)(175 + 168)/25² = 7*343/25² = 49²/25²
AB = 49/25
Всё :)

Дано:  a/b =5:7  , S =140 дм² .
---
a-?,  b -?

a: b =5:7 ⇒a =5k ; b=7k , k>0 .
S =a*b ⇒140 дм² =  5k*7k ⇔k² = 4 дм² ⇒ k =2 дм.
Следовательно a =5k=5*2 дм =10 дм ; b=7k =7*2 дм =14 дм.
ответ : 10 дм ; 14 дм.

Дано:  P =96 дм , S =540 дм² .
---
a-?,  b -?

{2(a+b) =96 ; ab =540⇔{a+b =48 ; ab =540. ||30+18=48 ;30*18=540||.
⇔{b =48 -a ; a(48-a)=540 .
a(48-a)=540 ;
a² -48a +540 =0 * * * D/4 =(48/2)² -540 =24² -540 =576 -540 =36 =6².
a₁ = 24 -6 =18 ⇒b₁=48 -a₁ = 48-18 =30;  
a₂ = 24+6 =30 ⇒b₂=48 -a₂ = 48-30 =18.

ответ : 18 дм ; 30 дм.

32 cм³ или 8√2 см³

Объяснение:

Обозначим:

сторону основания призмы а - ?

высоту призмы h - ?

Диагональ основания призмы d = a√2

Диагональ призмы D = √(d² + h²) = √(2a² + h²) = 6см

Тогда 2а² + h² = 36     (1)

Площадь боковой поверхности призмы 4аh = 32    (2)

Из (2) получим а = 8/h    (3)

Подставим (3) в (1) и получим

2 · 64/h² + h² = 36

128 + h⁴ = 36h²

h⁴ - 36h² + 128 = 0

Замена t = h²

t² - 36t + 128 = 0

D = 1296 - 512 = 784

√D = 28

t₁ = (36 - 28)/2 = 4

t₂ = (36 + 28)/2 = 32

Тогда h₁ = 2(cм) и h₂ = 4√2(см)

а₁ = 8/2 = 4(см) и а₂ = 8 : 4√2 = √2(см)

В 1-м случае объём призмы V = a² · h = 16 · 2 = 32(cм³)

Во 2-м случае V = a² · h = 2 · 4√2 = 8√2(cм³)