Точка м лежите на стороне ав параллелограмма abcd и делит эту сторону ам: мв=3: 4. отрезки dм и ас пересекаются в точке f. найдите площадь треугольника dfс, если площадь треугольника afd равна 63.

Пусть AM = 3x, MB = 4x; AB = CD = 7x;
Треугольники MFA и DFC подобны по двум углам (∠MAF = ∠FCD; MFA и CFD вертикальные углы)
Значит AM/CD = AF/FC = 3x/7x = 3/7;
У треугольников AFD и FDC общая высота из точки D, поэтому отношение площадей этих треугольников равно отношению оснований, на которые опущена общая высота, т.е. равно отношению AF/FC = 3/7;
Пусть площадь треугольника DFC равна S; Тогда S = 7*63/3 = 147;
ответ: 147

Отрезок BC виден из точек С1 и B1 под прямым углом - точки B, C1, B1, C лежат на окружности c центром в середине BC.

B1BC1 =C1CB1

A1BC1H, A1CB1H - вписанные четырехугольники (т.к. противоположные углы прямые).

HA1C1 =HBC1, HA1B1=HCB1 => HA1C1=HA1B1

(т.е. высота AA1 треугольника ABC является биссектрисой угла A1 ортотреугольника A1B1C1)

∪B1C1 =2B1BC1 =A1 =44  

Если треугольник остроугольный, найдем BAC как угол между секущими:

BAC =∪BC/2 -∪B1C1/2 =90-22 =68

Если треугольник тупоугольный - рассмотрим △HBC - найдем BHC как угол между хордами:

BHC =∪BC/2 +∪B1C1/2 =90+22 =112  

---------------------------------

М - середина BC. B1MC1 =∪B1C1 (центральный угол) =A1, т.е. M лежит на описанной окружности △A1B1C1.

Аналогично для всех середин сторон △ABC и середин сторон △AHB, △BHC, △AHC (для этих треугольников △A1B1C1 является ортотреугольником).

Описанная окружность ортотреугольника называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера (основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности).

Дано:

Четырёхугольник ABCD — параллелограмм (не прямоугольник!).

Точка Е Є ВС.

ВЕ : ЕС = 2 : 3.

Отрезки BD и АЕ пересекаются в точке М.

МD = 15 см.

Найти:

BD = ?

Решение:

Пусть отрезок ВЕ = 2х, тогда отрезок ЕС = 3х.

Тогда ВС = ВЕ+ЕС = 2х+3х = 5х.

ВС = AD = 5x (по свойству параллелограмма).

Рассмотрим ∆ВЕМ и ∆AMD.

Так как отрезок ВЕ лежит на стороне ВС, а ВС||AD (по определению параллелограмма), то отрезок ВЕ||AD.

<ВМЕ = <AMD (так как вертикальные).

<MAD = <MEB (накрест лежащие углы при параллельных прямых ВЕ и AD).

Тогда —

∆ВЕМ ~ ∆AMD по двум равным углам (первый признак подобия треугольников).

Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

То есть —

AD / BE = k

5x / 2x = k

k = 2,5.

Обозначим ВМ за у.

у и MD — сходственные стороны.

Тогда —

MD / y = k

15 см / у = 2,5

2,5у = 15 см

у = 6 см.

ВD = BM+MD = y+15 см = 6 см+15 см = 21 см.

ответ:

D) 21 см.