Какие треугольники подобны?

Дано:
трапеция ABCD  равнобедренная (AD || BC ; AB =CD) 
AE =EB ; BF =FC ; CM=MD ; DN =NA .
-----
док-ать EFMN ⇒ромб

Середины любого четырехугольника (даже не выпуклого) образуют параллелограмм.  В случае  равнобедренной трапеции ( поскольку  диагонали  равны )   этот четырехугольник  будет  ромб .  
---
EF и  NM  средние  линии соответственно  треугольников ABC и ADC.
Следовательно:
EF =AC/2 =NM  
и
EF || AC ,  NM || AC   ⇒  EF  ||  NM .
Четырехугольник  EFMN  параллелограмм. 
ΔEAN = ΔMDN (по первому признаку равенства Δ -ов)
AE =AB/2 =DC/2 =DM  и   AN =DN =AD/2 ; ∠EAN = ∠MDN )
Значит  EN = MN .
Стороны параллелограмма EFMN  равны⇒
EFMN -ромб.   Доказано
-------------------------------------------------------------------------------------------
* * * Можно и так ΔABD = ΔDCA (по первому признаку равенства Δ -ов)
(AD - общее ,  AB =DC , ∠BAD =∠CDA * * *
см фото

Дано:  ΔABC _равнобедренный ;
 BA = BC =4 см ; * * * AC_ основание треугольника* * * 
AK ⊥  BC  * * * AK_ высота * * * 
AK = 3 см .

 КС -?

Рассмотрим два случая :

a)  ∠B _острый   * * * ∠B   <  90° * * *
Точка К (основание высоты ) лежит на стороне СB .
Из  ΔABK по теореме Пифагора :
BK = √ (AB² -AK²) = √ (4² -3²)  =√ (16 -9)  = √7  (см) .
KC =BC - BK = (4 - √7 ) см .
b)  ∠B _тупой   * * * ∠B   >  90° * * *
Точка К лежит на  ее продолжения  СB  (за  точку  B ).
Аналогично:  BK  = √7  см  , но в этом случае :
KC = СB +КС = (4 + √7 ) см .

ответ :   KC= (4 ± √7 ) см .