Правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12, а ее боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Найти объём пирамиды

72

Объяснение:

Пусть сторона основания - а,тогда

а=2r√3,а=12 по условию;

Тогда радиус равен r=2√3

Так как боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°,то высота пирамиды равна радиусу,значит h(высота)=2√3

Найдем площадь основания:

S=(a^2√3)/4=(144√3)/4=36√3

Тогда объём:

V=1/3*S основания*h=12√3*2√3=24*3=72

Вспомним свойство основания высоты пирамиды:
Основание высоты пирамиды  совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням. 
И наоборот - если снование высоты пирамиды  совпадает с центром вписанной  в основание пирамиды окружности, то  справедливы приведенные выше условия. 
В данной задаче  основание высоты пирамиды совпадает с центром вписанной окружности. Следовательно, все апофемы равны. 
Подробное решение в приложении. 
----------
[email protected]

Заклинание. Из тайной тетради... :))) Если вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности, то 1. все апофемы равны 2. все грани равнонаклонены (равны двугранные уголы с основанием) 3. радиус вписанной в основание окружности И ЕСТЬ проекция апофемы на основание. 

Я тут уже столько раз это объяснял, что сильно устал это делать. Всё это следует из равенства неких прямоугольных треугольников, образованных апофемами, их проекциями и высотой пирамиды. Дакажите это сами.

Площадь треугольника в основании равна 8*12/2 = 48. (некоторые товарищи спрашивают, почему 8. Это я произнес еще одно заклинание, из книги Пифагоровых чисел - 6, 8, 10. Причем 2 раза...:))

Периметр 10 + 10 + 12 = 32.

r = 48*2/32 = 3.

Еще одно заклинание, из книги Пифагоровых чисел - 3, 4, 5, и 

ответ Все апофемы равны 5. :

 

Отнеситесь очень серьезно к этой галиматье, решение очень точное и подробное.