До ть будь ласка. Геометрія 7 клас. 1 завдання не виконувати.

Через сторону АД ромба АВСД проведена плоскость альфа, удаленная от ВС на расстояние, равное 3√ 3 см. Сторона ромба-12 см, угол ВСД=30º. Найдите угол между плоскость ромба и плоскостью альфа

 ВС ║АД, ⇒ ВС║α

АД ∈ плоскости α, и расстояние от ВС до плоскости равно длине отрезка их общего перпендикуляра (свойство). 

Угол между плоскость ромба и плоскостью α -двугранный угол, и его величина определяется градусной мерой линейного угла. 

В данном случае это величина угла, который получится, если из точки Н к АД— линии пересечения  плоскости ромба и плоскости альфа, —провести перпендикуляры в обеих плоскостях. 

Пусть Н - основание высоты ромба, проведенной из В к АД, а НМ перпендикуляр к АД в плоскости альфа. (см. рисунок)

Искомый угол - угол МНВ. 

В треугольнике АВД высота  ВН как катет,  противолежащий углу 30º,  равна половине гипотенузы АВ.

ВН=АВ:2=12:2=6 см

В ∆ ВМН  катет ВМ противолежит искомому углу ВНМ. 

sin∠ВНМ=ВМ:ВН=(3√3):6=(√3):2 - это синус угла 60º

Угол  между плоскость ромба и плоскостью альфа равен 60º.

Удивительно хитрое условие:)

Сечение АМВ - это равносторонний треугольник со стороной 8. Его площадь 16*корень(3).

Пояснения совсем не касаются стереометрии, а касаются удивительных свойств равнобедренного треугольника с углом при вершине 36 градусов. Оба угла при основании 72 градуса. Поэтому биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных, и отсюда получается, что биссектриса угла при основании равна основанию (кроме того, она равна и отрезку боковой стороны от вершины до пересечения с ней биссектрисы).

(Если все это трудно идет :), то в обозначениях задачи легко увидеть, что

угол SAC = угол SCA = (180 - 36)/2 = 72 градуса,

угол SAM = 72/2 = 36 градусов, и поэтому AM = SM (так понятно?) далее

угол АМС = угол SAM + угол ASM = 36 + 36 = 72 градуса = угол MCA, откуда АМ = АС.)

Именно отсюда я и получил, что АМ = АС =8; не сложно отсюда же обосновать, что ВМ - биссектриса угла SBM треугольника SBM, который в точности такой же как треугольник SAC. ПОэтому и BM =8.

Это все. 

Именно такой треугольник используется для вычисления в радикалах тригонометрических функций углов, кратных 18 градусам.