Гипотенуза прямоугольного треугольника 12 см. вне плоскости треугольника дана точка, отстоящая от каждой его вершины на расстоянии 10 см. найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.

авс - прям. тр-к. угол с = 90 гр. ав = 12 см.

дана точка м причем перпендикуляр мк на плоскость авс попадает в середину гипотенузы - центр описанной окр-ти, так как ма = мв = мс и ка = кв = кс = с/2 = 6 см.

из пр. тр. мак по теор. пифагора находим мк:

мк = кор(ma^2- ka^2) = кор(100-36) = 8

ответ: 8 см.

Трапеция авсд,   средняя линия трапеции  мf= 12, отрезок соединяющий середины оснований он = 10, пусть p  точка пересечения он и mf.  сумма углов при основании дс  равна 19+71=90, следовательно если продолжить боковые стороны от меньшего основания вверх , то получим прямоугольный треугольник кдс, у которого углы 19 + 71 +  90 (угол к)  = 180   рассмотрим треугольник кмf, где  мf гипотенуза, кр медиана = 12/2=6 (так как медиана проведенная к гипотенузе в прямоуг.треугольнике равна половине гипотенузы) далее рассмотрим треуг.кав, где ор = он/2=5. найдем ко= кр-ор= 6-5=1.   ко это  медиана прямоуг.треуг. кав  ,значит его гипотенуза ав = 1*2=2.     ав есть меньшее основание трапеции.  сумма оснований трапеций  будет 12*2 =  24, так как средняя линия мf = 12. большее основание дс=24-2 = 22

Сечение через вершину пирамиды и высоту основания. в сечении треугольник, одна сторона - боковое ребро, другая - высота боковой грани (апофема), "нижняя" - высота основания. высота пирамиды является высотой этого треугольника, её основание делит "нижнюю" сторону на части в отношении 1/2, считая от апофемы. угол между апофемой и "нижней" стороной задан - это 45 градусов (плоскость сечения очевидно перпендикулярна боковой стороне, поскольку есть 2 прямые в этой плоскости, перпендикулярные на самом деле даже 3 навскидку - высота пирамиды, высота основания и апофема, но достаточно 2:   итак. перпендикуляр из основания высоты треугольника на боковую сторону равен корень(6). поэтому расстояние от основания высоты до вершины равно  корень(6)*корень(2) = 2*корень(3). а вся "нижняя" боковая сторона в 3 раза больше. нас интересует так же апофема, она равна   2*корень(3)/(корень(2)/2) = 2*корень(6), это можно было увидеть и без вычислений - прямоугольные треугольники с углом 45 градусов - равнобедренные : )) и гипотенуза всегда равна удвоенной медиане; осталось вычислить сторону основания. в равносторонем треугольнике высота 6*корень(3), значит сторона 12 (поделили на синус 60 градусов). sбок = 3*12*(2*корень(6))/2 = 36*корень(6);