Уравнение 5x^2–4y^2+30x+8y+21=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж

Дано уравнение кривой:
5x² - 4y² + 30x + 8y + 21 = 0.
Выделяем полные квадраты:
5(х + 3)² - 4(у² - 1)² = 20.
Делим обе части уравнения на 20 и получаем каноническое уравнение гиперболы:
((х + 3)²/(2²)) - ((у² - 1)²/(√5)²) = 1.
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
C(-3; 1) и полуосями: а = 2 и b = √5.
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b² = 4 + 5 = 9.
c = 3.
Тогда эксцентриситет будет равен: ε = с/а = 3/2.

Асимптотами гиперболы будут прямые:
у - 1 = (√5/2)(х + 3)  и  у - 1 = -(√5/2)(х + 3).
Директрисами гиперболы будут прямые:
 х + 3 = а/ε ,
 х + 3 = +-(2/(3/2)).
 х + 3 = +-(4/3).

График и таблица координат точек для его построения приведены в приложении.

Решение смотри на фото

Даны координаты A(7,7,3), В(6,5,8), С(3,5,8) и  D(8,4,1).

Находим векторы:

                                     x      y     z Квадрат Длина ребра  

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}  -1      -2       5       30      5,4772

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}  -4   -2      5       45      6,7082.

Их векторное произведение равно: АВ х АС =

= i        j         k |         i          j

-1       -2        5 |       -1        -2

-4      -2        5 |      -4        -2   =     -10i - 20j + 2k  +  5j + 10i - 8k =

= 0i - 15j - 6k  =  (0; -15; -6).

Площадь основания (АВС) равна половине модуля:

S(ABC) = (1/2)*√(0 + 225 + 36) = (1/2)*√261 = (3/2)√29 ≈ 8,0778.

Находим вектор AD:

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA  (1      -3    -2)  = √ 14  ≈ 3,742.  

Находим смешанное произведение:

АВ х АС = (0; -15; -6).

АD = (1; -3;  -2).

(АВ х АС) * АD = 0 + 45 + 12 = 57.

Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения:

V = (1/6)*57 = 57/6 = 19/2 = 9,5 куб.ед.

Теперь определяем искомую высоту из вершины D на АВС.

Н = 3V/S(ABC) = 3*(19/2)/((3/2)√29) = 19√29/29 ≈ 3,528.

 

Ответ: 6 см

Объяснение:   Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами,  проведенными в этих плоскостях  к одной точке на линии их пересечения.

  Линия пересечения - прямая СА, перпендикуляры к ней НВ и НК. Угол ВНК=30°(дано)

  ВН - высота ∆ АВС к стороне АС. Площадь ∆ АВС по формуле Герона равна 24 см².

Из формулы площади треугольника высота ВН=2Ѕ:АС=48:4=12 (см).

  Расстояние от точки до плоскости измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из  той точки на плоскость.

Из прямоугольного ∆ ВКН искомое расстояние ВК=ВН•sin30°=12•1/2=6 см