Диаметр окружности равен 6 см. Около неё описана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 10 см. Вычисли основания и площадь трапеции.

1.

В тр-ках ABC и ACD опустим перпендикуляры на сторону AC. Очевидно, они упадудт в одну точку, т. к. тр-ки равнобедренные. Назовем эту точку H. В тр-ке BDH угол BDH - прямой (т. к. BD перпендикулярна плоскости ACD).

Найдем BH: в тр-ке ABC по т-ме Пифагора BH^2+6^2=4*21; BH=4*sqrt(3) //sqrt - это знак корня, т. е. 4 корня из трех.

Найдем AD: в тр-ке ADC по т-ме Пифагора 2*AD^2=12^2; AD=6*sqrt(2). //Не забываем, что AD=AC.

Найдем DH исходя из площади тр-ка ADC: DH*12=AD*AC; DH*12=36*2; DH=6.

В прямоугольном тр-ке BDH (угол BDH - прямой) гипотенуза равна 4*sqrt(3), а катет HD=6. Отсюда угол BHD=arccos(6/(4*sqrt(3))=arccos(sqrt(3)/2)=pi/6=30градусов.

ответ: 30 градусов.

2. Поступаем аналогично 1-й задаче: вначале опускаем перпендикуляры BH и DH на сторону AC.
Далее по т-ме Пифагора находим DH:

DH^2=6^2+61; DH=sqrt(97)
Далее по т-ме Пифагора находим BH:
BH^2=10^2+6^2; BH=2sqrt(34).

Отсюда по т-ме косинусов в тр-ке DBH считаем BD:

BD^2=(2sqrt(34)^2+sqrt(97)^2-2*2sqrt(34)*sqrt(97)*cos(60))=
BD^2=136+97-2*sqrt(3298)=233-2sqrt(3298).

Далее можно упростить при желании.

Проверьте на всякий случай арифметику.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей
образуется 8 углов - по 4 в каждой точке пересечения: 1 - 4  и 5 - 8 смежные и вертикальные.  Группы из 4 углов связаны между собой углами 3 и 6, 4 и 5 - накрест лежащие и 3 и 5, 4 и 6 - односторонние.
вертикальные и накрест лежащие равны между собой, а смежные и односторонние в сумме равны 180°.
Так как нам даны разные углы, то это углы смежные или односторонние. Таким образом, можем записать, что градусные меры этих углов относятся как 1:5, то есть в сумме равны 1х+5х=6х =180°. Отсюда х=30°.Пусть <2=x=30°. Тогда <1= 150°.
ответ: <1,<4,<5,<8 =150°, а <2,<3,<6,<7 = 30°
2. В условии явная ошибка. Должно быть: "Докажите, что биссектриса ВN угла СВД (Д лежит на прямой АВ), смежного с углом В треугольника, параллельна  АС" , так как точки А,В, и D лежат на одной прямой,  а биссектриса BN пересекает эту прямую.
Решение.
Угол А при основании АВ равен 60°, следовательно и <B =60°. Смежный с этим углом <CBD = 180°-60°=120°, а биссектриса BN делит его пополам. Следовательно, <NBD=60° и он равен <A, а это соответственные углы при прямых АС и BN и секущей АD. Значит
прямые АС и BN параллельны, что и требовалось доказать.
3. Треугольники MOS и NOP, MON и POS попарно равны по двум сторонам и углу между ними (равенство сторон дано, а углы - вертикальные).
Из равенства треугольников следует равенство сторон MS и NP,
MN и PS. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм и MS||MP, а MN||PS, что и требовалось доказать.