Доведіть, що чотирикутник abcd з вершинами в точках а(3; -1) в(2; 3)с(-2; 2)d(-1; -2) є прямокутником

Смотри объяснения.

Объяснение:

Найдем стороны данного четырехугольника:

|AB| = √((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)) = √((-1)² + (4)²) = √17 ед.

|CD| = √((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²)) = √(1² + (-4)²) = √17 ед.

|BC| = √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²)) = √((-4)² + (-1)²) = √17 ед.

|AD| = √((Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²)) = √((-4)² + (-1)²) = √17 ед.

Так как противоположные стороны четырехугольника попарно равны, четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. Проверим это на векторах АВ и ВС:

(АВ·ВС) = Xab·Xbc + Yab·Ybc = (-1)·(-4) + 4·(-1) = 4-4 =0.

Таким образом, вектора (стороны параллелограмма) АВ и ВС перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого угол между смежными сторонами равен 90°, является прямоугольником, а прямоугольник с равными сторонами является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Чертеж во вложении.
Пусть точки В и С - это точки касания окружностей одной из сторон угла А.
Т.к. две окружности касаются друг друга внешним образом (К - точка касания) и вписаны в угол А, то центры окружностей - точки О и Е - лежат на биссектрисе угла А.
Значит, ∠САЕ=30°.
По свойству касательной радиус ОВ⊥АС и радиус ЕС⊥АС.
Пусть ЕС=х см, тогда ЕК=х см и ОЕ=6+х см.
В прямоугольном ∆АОВ АО = 2ОВ=2*6=12 см (гипотенуза и катет в треугольнике с углом в 30°)
Прямоугольные ∆АОВ и ∆АЕC подобны по двум углам.
Значит, 

ответ: 18 см.

СЕ = 1см

S=10см^2

Объяснение:

 АВCD — квадрат,

то АВ = ВС = CD = AD = 4 см.

1)Рассмотрим треугольник АDE: EA = 5 см.,

AD = 4 см,

угол АDE = 90 градусов. 

Тогда по т. Пифагора находим сторону DE: DE^2 = AE^2 — AD^2 = 25 — 16 = 9,

т. е. DE = 3 см.

Так как сторона СD = DE + EC = 4, следовательно СЕ = СD - DE = 4 - 3 = 1 см.

2) Сначала найдём площадь квадрата АВСD: S (ABCD) = CD^2 = 4 * 4 = 16 см^2. 

Теперь находим площадь треугольника ADE: S(ADE) = 1/2 * AD * DE = 1/2 * 4 * 3 = 6 cм^2. Теперь так как S(ABCD) = S(ADE) + S(ABCE),

следовательно S(ABCE) = S(ABCD) — S(ADE) = 16 — 6 = 10 см^2.

ответ: СЕ = 1 см;  S(ABCE) = 10 см^2.