Доказать что треугольник mnk - равнобедерный. m (2; 2) n (6; 5) k (5; -2)

Найдем длины сторон, как расстояние между 2 точками
M (2;2) N (6;5) K (5;-2)
MN=✓((6-2)²+(5-2)²)=✓(16+9)=
=✓25=5
NK=✓((5-6)²+(-2-5)²)=✓(1+49)=
=✓50=5✓2
MK=✓((5-2)²+(-2-2)²)=✓(9+16)=
=✓25=5

MN=MK => ∆MNK - равнобедренный

Надо посчитать расстояния между точками
r = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
MN = √((6-2)²+(5-2)²) = √(4²+3²) = 5
MK = √((5-2)²+(-2-2)²) = √(3²+4²) = 5
NK = √((5-6)²+(-2-5)²) = √(1²+7²) = √50 ≈ 7,071
Из трёх отрезков можно составить треугольник, если сумма любых двух сторон больше третьей. Это условие выполняется.
И два отрезка равной длины => треугольник равнобедренный.

Объяснение:

10.

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому ΔСМА - равнобедренный, СМ=АМ.

ΔМСН - прямоугольный, ΔСНМ=90°,  ∠МСН=20°,  ∠СМН=90-20=70°

∠СМН и ∠СМА - смежные, их сумма 180°, поэтому ∠СМА=180-70=110°

∠А=∠АСМ=(180-110)=35°

∠В=90-35=55°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°

ответ: 35°, 55°

11.

Пусть ∠1=2х°, ∠2=3х°, тогда ∠А=180-2х, а ∠С=180-3х по свойству смежных углов

Составим уравнение: 90+180-2х+180-3х=180

-5х+90+360-180=0

5х=270;  х=54

∠1=54*2=108°;  ∠2=54*3=162°

∠А=180-108=72°;  ∠С=180-162=18°

ответ: 72°,  18°

Все дело в том, что этот отрезок равен отрезку внешней касательной между точками касания. См. рисунок.

Ясно, что В1В2 = С1С2 - это симметричные относительно линии центров отрезки. Далее,

В1В2 - СВ1 = СВ2 = СА2 = СА1 + А1А2;

С1С2 - С2В = ВС1 = ВА1 = ВА2 + А1А2;

Поэтому

В1В2 = А1А2 + СА1 + СВ1 = А1А2 + 2*СА1;

C1C2 = А1А2 + ВА2 + ВС2 = А1А2 + 2*ВА2;

Отсюда 

СА1 = ВА2 и ВС = С1С2 = В1В2;

(Я очень советую во всем этом разобраться! Это только кажется, что - просто)

Дальнейшее решение я на рисунке не изображаю - надо провести радиусы О1С1 и О2С2, и из точки С1 - прямую II О1О2 (это центры окружностей, О1 - ближе к А). Получается прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна О1О2 - заданному расстоянию между центрами, один из катетов R - r, а второй - С1С2=ВС, которую надо найти.

О1О2^2 = (R - r)^2 + BC^2;

Я не буду доделывать - у вас там ошибка, расстояние не может быть равно Rr, скорее всего там корень - чтобы РАЗМЕРНОСТЬ была правильной. В любом случае

ВС^2 = d^2 - (R - r)^2; (d - заданнное расстояние между центрами)