Вравнобедренном треугольнике авс с основанием ас=а медиана ам перпендикулярна биссектрисе ск и пересекает её в точке о. найти ам, ск и площадь четырёхугольника вмок.

1) В треугольнике АСМ СО - биссектриса и высота, значит он равнобедренный,

СМ = СА = а,

М - середина ВС, ⇒ ВМ = СМ = а; АВ = ВС = 2а.

ΔВСН: cos∠ACB = HC/BC = a/2 / (2a) = 1/4

Из ΔAMCпо теореме косинусов:

AM² = AC² + CM² - 2AC·CM·cos∠ACB

AM² = a² + a² - 2a·a·1/4 = 2a² - a²/2 = 3a²/2

AM = a√3/√2 = a√6/2

2) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

ВК : АК = ВС : АС = 2а : а = 2 : 1, ⇒

АК = 1/3 AB = 1/3 · 2a = 2a/3

cos∠BAC = cos∠BCA = 1/4 (углы при основании равнобедренного треугольника)

Из ΔАКС по теореме косинусов:

CK² = AK² + AC² - 2AK·AC·cos∠BAC

CK² = 4a²/9 + a² - 2 · 2a/3 · a · 1/4 = 13a²/9 - a²/3 = 10a²/9

CK = a√10/3

3) Samc = 1/2 AC·CM·sin∠BCA

sin∠BCA = √(1 - cos²∠BCA) = √(1 - 1/16) = √(15/16) = √15/4

Sacm = 1/2 · a · a · √15/4 = a²√15/8

Sabm = Sacm = a²√15/8 так как медиана делит треугольник на два равновеликих.

AO = OM = AM/2 = a√6/4 (так как ΔАМС равнобедренный)

ΔАКО: AO = a√6/4, AK = 2a/3, по теореме Пифагора

           OK = √(AK² - AO²) = √(4a²/9 - 6a²/16) = √(64a²/144 - 54a²/144) = √(10a²/144) =

                 = a√10/12

Saok = 1/2 OK · AO = 1/2 · a√10/12 · a√6/4 = a²√60/96 = a²√15/48

Sbmok = Sabm - Saok = a²√15/8 - a²√15/48 = 5a²√15/48

1) - 3
2) (Многооо очень) Сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника
равна 90º
Сумма углов треугольника равна
180º, а прямой угол равен 90º,
поэтому сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника
равна 90º.
Катет прямоугольного
треугольника, лежащий против
угла в 30º, равен половине
гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный
треугольник ABC, в котором A
— прямой, B = 30º и, значит,
C = 60º. Докажем, что AC = 1/2
BC.
Приложим у треугольнику ABC
равный ему треугольник ABD, как
показано на рисунке 1. Получим
треугольник BCD, в котором B
= D = 60º, поэтому DC = BC. Но
AC = 1/2 DC. Следовательно, AC =
1/2 BC, что и требовалось
доказать.
Если катет прямоугольного
треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30º.
3)Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
4)Ввысота может лежать вне треугольника, а остальное только внутри
5) Не знаю.

1) - 3
2) (Многооо очень) Сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника
равна 90º
Сумма углов треугольника равна
180º, а прямой угол равен 90º,
поэтому сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника
равна 90º.
Катет прямоугольного
треугольника, лежащий против
угла в 30º, равен половине
гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный
треугольник ABC, в котором A
— прямой, B = 30º и, значит,
C = 60º. Докажем, что AC = 1/2
BC.
Приложим у треугольнику ABC
равный ему треугольник ABD, как
показано на рисунке 1. Получим
треугольник BCD, в котором B
= D = 60º, поэтому DC = BC. Но
AC = 1/2 DC. Следовательно, AC =
1/2 BC, что и требовалось
доказать.
Если катет прямоугольного
треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30º.
3)Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
4)Ввысота может лежать вне треугольника, а остальное только внутри
5) Не знаю.