Через вершину с равностороннего треугольника авс проведена прямая, пересекающая сторону ав. расстояния от вершин а и в до этой прямой равны соответственно 1 см и 7 см. найдите длину стороны треугольника авс.

если бы все было так просто, как у предыдущего

проще всего сделать так - пусть вершина с лежит в точке (0,0) системы координат на плоскости, прямая, про которую говорится в , - это ось х. тогда вершины треугольника расположены в точках а (m,1) и b(n,-7); m и n - неизвестны (но они положительны - так мы выбрали оси). длину стороны обозначим а.

m^2 = a^2 - 1^2;

n^2 = a^2 - 7^2; очевидно, что m > n;

(m - n)^2 = a^2 - (7 + 1)^2;

надо найти а, поэтому из этой системы уравнений надо исключить m и n - получим уравнение только для а.

m - n =  √(a^2 - 64);

m^2 - n^2 = 7^2 - 1^2 = 48;

m + n = 48/(√(a^2 - 64));

2*m =  √(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64);

m^2 = a^2 - 1 = (1/4)*(√(a^2 - 64) + 48/√(a^2 - 64))^2;

4*a^2 - 4 = a^2 - 64 + 2*48 + 48^2/(a^2 - 64);

(3*a^2 - 36)*(a^2 - 64) = 48^2;

3*a^4 - 36*a^2 - 3*64*a^2 + 36*64 = 48^2; удивительно, но свободные члены сокращаются (вообще-то это говорит в пользу существования технически более простого решения).

a^2 = 76;

a =  √76;

 

если записать это так a^2 = (4/3)*(7^2 + 1^2 +1*7) =  (4/3)*(7^2 + 8^2 - 8*7) = 76; то общая конструкция решения несколько проясняется.

 

я добавил чертеж (в левом верхнем углу вложения), и - дополнительно приложил альтернативное решение, хотя это нравится мне больше.

решение находится в

теорема косинусов для треугольника aмc

ac^2=am^2+mc^2-2*am*cm*cosamc

 

теорема косинусов для треугольника bмc

bc^2=bm^2+mc^2-2*bm*cm*cosbmc

 

ac=bc (треугольник равносторонний) тогда ac^2=bc^2

 

am^2+mc^2-2*am*cm*cosamc=bm^2+mc^2-2*bm*cm*cosbmc

am^2-2*am*cm*cosamc=bm^2-2*bm*cm*cosbmc

 

ам и вm знаем

2^2-2*2*cm*cosamc=10^2-2*10*cm*cosbmc

4-4*cm*cosamc=100-20*cm*cosbmc

 

углы вмс и вас равны, опираются на одну дугу. вас=60 - равносторонний треугольник.

угол амс=амв+вмс=асв+вас=60+60=120

 

4-4*cm*cos120=100-20*cm*cos60

4-4*cm*(-1/2)=100-20*cm*1/2

4+2*cm=100-10*cm

12*cm=96

см=8

 

ответ: 8

теорема косинусов для треугольника aмc

ac^2=am^2+mc^2-2*am*cm*cosamc

 

теорема косинусов для треугольника bмc

bc^2=bm^2+mc^2-2*bm*cm*cosbmc

 

ac=bc (треугольник равносторонний) тогда ac^2=bc^2

 

am^2+mc^2-2*am*cm*cosamc=bm^2+mc^2-2*bm*cm*cosbmc

am^2-2*am*cm*cosamc=bm^2-2*bm*cm*cosbmc

 

ам и вm знаем

22^2-2*22*cm*cosamc=1010^2-2*1010*cm*cosbmc

484-44*cm*cosamc=1020100-2020*cm*cosbmc

 

углы вмс и вас равны, опираются на одну дугу. вас=60 - равносторонний треугольник.

угол амс=амв+вмс=асв+вас=60+60=120

 

484-44*cm*cos120=1020100-2020*cm*cos60

484-44*cm*(-1/2)=1020100-2020*cm*1/2

484+22*cm=1020100-1010*cm

988*cm=1019616

см=1032

 

ответ: 1032