Нужна . один из углов ромба равен 60 градусов. самая большая диагональ 24 см. найти радиус кола вписаного в етот ромб.

Ключ к задаче
меньшая диагональ равна стороне ромба и рассекает ромб на два равносторонних треугольника.
половина большей диагонали в любом из них - ВЫСОТА. биссектриса и медиана.
имеем 12=1\2V3 a a=8V3 -сторона ромба.
формула для радиуса в учебнике.

Среди полезных свойств трапеции есть и такое:
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
 Но не всегда нужное вспоминается во-время. Поэтому данное ниже решение - подробное. 
Рассмотрим рисунок трапеции АВСД, данный во вложении. 
Пусть К и Е - середины оснований, 
М и Н - середины боковых сторон. 
КЕ=12
МН=21
∠ВАД=37°
∠СДА=53°
Проведем из К к АД прямые КТ и КР параллельно боковым сторонам.
Обозначим точки пересечения этих прямых и средней линии  m и h
По свойству параллельных прямых и секущей 
угол КТР= ∠ВАД=37°
угол КРТ= ∠СДА=53°
Сумма углов при основании ТР треугольника ТКР равна 
37°+53°=90° ⇒ 
треугольник ТКР - прямоугольный. 
В нём 
ТЕ=АЕ-АТ
ЕР=ЕД-РД, а так как 
АТ=ВК=КС=РД,то
ТЕ=ЕР⇒ Е- середина ТР. ⇒ 
КЕ - медиана прямоугольного треугольника ТКР. 
Медиана прямоугольного трегольника, проведенная из вершины прямого угла,  равна половине гипотенузы. 
ТЕ=КЕ=12.
ТР=2*КЕ=24
Средняя линия mh треугольника ТКР равна половине ТР=12
Мm+hH=21-12=9
Мm+hH=BK+KC=BC
ВС=9
АД=ТР+АТ+РД=ТР+ВС=9+24=33

Трапеция АВСД, уголА=53, уголД=37, МН-средняя линия трапеции=21, КТ - линия соединяющая середины ВС и АД (К на ВС)=12, продлеваем АВ и СД до пересечения их в точке О, треугольник АОД прямоугольный, уголО=180-уголА-уголД=180-53-37=90, проводим ОК, треугольник МОН прямоугольный, Е-точка пересечения МН и ОТ, ОЕ медиана треугольника МОН, в прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе=1/2 гипотенузы МН, ОЕ=МЕ=ЕН=1/2МН=21/2=10,5, КЕ=ЕТ=1/2КТ=12/2=6, ОЕ+ЕТ=ОТ, 10,5+6=16,5, треугольник АОД, ОТ-медиана=АТ=ТД=1/2АД, АД=2*ОТ=16,5*2=33, ВС=2*МН-АД=2*21-33=9