Плоскость α проходит через основание ad трапеции abcd. m и n – середины боковых сторон трапеции. а) докажите, что mn⎟⎟ α. б) найдите ad, если bc = 4 см, mn = 6 см.

M и N – середины боковых сторон трапеции ABCD, тогда отрезок MN – средняя линия трапеции.

Свойства средней линии трапеции:

1) средняя линия трапеции параллельна основаниям;

2) средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.

Тогда, по 1 свойству, прямая, проходящая через среднюю линию MN, будет параллельна прямой, проходящей через основание АD.

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Получается: 

MN параллельна АD, АD лежит в плоскости α, следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN || α.

По второму свойству средней линии трапеции:

MN = (ВС + АD)/2

АD = 2·MN – ВС

АD = 2∙6 – 4

АD = 8

1)BD высота по условию, значит в треугольник по одному равному углу. Сумма двух других углов=90 градусов. Если ∠CBD  больше ∠ABD, то  

∠C меньше ∠A⇒ CB больше AB.

2)В треугольнике ВМА угол ВАМ больше угла ВМА. (т.к. в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и по условию ВМ>АВ)

Для треугольника ВМС угол ВМА является внешним и равен сумме внутренних углов треугольника ВМС, не смежных с ним. Т.е. угол ВМА больше угла ВСМ

Итак угол ВАМ > угла ВМА > угла ВСМ.

Значит, А > C.

3)Угол А в 2 раза меньше внешнего угла ВСК, то есть

∠А=α , ∠ВСК=2α.

Внешний угол треугольника = сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, ∠ВСК=∠А+∠В  ⇒  2α=α+∠В  ⇒  ∠В=α .

Получаем треугольник, у которого равны два угла, значит, треугольник равнобедренный ( углы при основании треугольника равны ).

4)7 треугольников

Объяснение:

Т к DK:KB=CN:NB=1:4, NK || CD и треугольники КВN и DBC подобны, BN=4CN, BC=BN+CN=5CN, k=BN:BC=4/5 - коэффициент подобия, KN=4/5*30=24. 
Т к DM:MA=CL:LA=1:4, ML  || CD и треугольники MAL и DAC подобны, AM=4DM,  AD=AM+DM=5DM, k=AM:AD=4/5 - коэффициент подобия, ML=4/5*30=24.
Т к NK || CD и ML  || CD, то NK || ML, кроме того NK = ML, значит KMKN - параллелограмм по признаку. Тогда MK=LN.
Т к. DK:KB=DM:MA=1:4, MK || AB и треугольники КDM и ADB подобны, AM=4DM, AD=AM+MD=5DM, k=DM:DA=1/5 - коэффициент подобия, MK=1/5*25=5.
LN=MK=5.
Периметр KMLN: P=2*(24+5)=58.