Отрезок bk(k принадлежит стороне ac) разбивает треугольник abc на два подобных треугольника abk и kbc , причем sabk: sbkc=1: 3. найдите углы треугольника

Заданное условие возможно только, если треугольник АВС прямоугольный, а отрезок ВК - это высота из вершины В на гипотенузу АС.То есть, угол В = 90°. Так как треугольники имеют общую высоту, то АС точкой К делится в отношении 1:3 от точки А.Обозначим ВК = х, АК = у, КС = 3у.Из подобия треугольников запишем пропорцию:х/(3у) = у/х.Отсюда х² = 3у². Извлечём корень: х = у√3.Разделим обе части на у: х/у = √3.  х/у это тангенс угла А.Отсюда А = arc tg√3 = 60°.Угол С = 90-60 = 30°.

В этой задаче только одна тонкость - 140 градусов - это угол при вершине. Поэтому угол при основании равен Ф = (180 - 140)/2 = 20 градусов (или пи/9). 

Осталось вспомнить теорему синусов 2*R*sin(Ф) = a; а = 10;

R = 5/sin(пи/9); само собой, это можно вычислить только приближенно (если только учитель не садист :) но в любом случае, это за пределами всех школьных программ)

R = 5/0,342020143325669 = 14,6190220008154; (слава Гейтсу, есть Excel)

 

Вот, чего только не узнаешь, ковыряясь в тривиальных задачах. Оказывается, тригонометрические функции угла 20 градусов теоретически невозможно выразить в радикалах. Оказывается, это противоречит некоей теореме Гаусса, согласно которой  с циркуля и линейки можно построить не любой правильный n-угольник, а только для некоторых n, и 18-угольники в это разрешенное множество не входят. В частности, можно выразить в радикалах функции всех углов, кратных 3 градусам. 

Однако это не означает, что cos(пи/9) (или синус, не важно) нельзя "вычислить на кончике пера". Легко видеть, что 

cos(60) = 4*(cos(20))^3 - 3*cos(20); если x = cos(20); то

x^3 - (3/4)*x - 1/8 = 0;

У этого уравнение есть по крайней мере один действительный корень (равный косинусу 20 градусов, конечно). Есть формулы Кардано для решения в радикалах таких уравнений. Но - вот беда - результат, хоть и действительный, и будет выражен в радикалах, обязательно будет содержать внутри записи мнимую единицу i; i^2 = -1; и избавиться от неё в выражении никак не получится (в противном случае нарушилась бы та самая теорема Гаусса). : это я так - развлекаюсь :)))

В этой задаче только одна тонкость - 140 градусов - это угол при вершине. Поэтому угол при основании равен Ф = (180 - 140)/2 = 20 градусов (или пи/9). 

Осталось вспомнить теорему синусов 2*R*sin(Ф) = a; а = 10;

R = 5/sin(пи/9); само собой, это можно вычислить только приближенно (если только учитель не садист :) но в любом случае, это за пределами всех школьных программ)

R = 5/0,342020143325669 = 14,6190220008154; (слава Гейтсу, есть Excel)

 

Вот, чего только не узнаешь, ковыряясь в тривиальных задачах. Оказывается, тригонометрические функции угла 20 градусов теоретически невозможно выразить в радикалах. Оказывается, это противоречит некоей теореме Гаусса, согласно которой  с циркуля и линейки можно построить не любой правильный n-угольник, а только для некоторых n, и 18-угольники в это разрешенное множество не входят. В частности, можно выразить в радикалах функции всех углов, кратных 3 градусам. 

Однако это не означает, что cos(пи/9) (или синус, не важно) нельзя "вычислить на кончике пера". Легко видеть, что 

cos(60) = 4*(cos(20))^3 - 3*cos(20); если x = cos(20); то

x^3 - (3/4)*x - 1/8 = 0;

У этого уравнение есть по крайней мере один действительный корень (равный косинусу 20 градусов, конечно). Есть формулы Кардано для решения в радикалах таких уравнений. Но - вот беда - результат, хоть и действительный, и будет выражен в радикалах, обязательно будет содержать внутри записи мнимую единицу i; i^2 = -1; и избавиться от неё в выражении никак не получится (в противном случае нарушилась бы та самая теорема Гаусса). : это я так - развлекаюсь :)))