Катет прямоугольного треугольника равен 7 см, а гипотенуза равна 25 см. найди площадь треугольника.

V(25^2 - 7^2) = V(18*32) = V(2*9*16*2) = 2*3*4 = 24 - второй катет
S = 24*7 / 2 = 12*7 = 84 cm^2

Теорема: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,проведённому в точку касания.

доказательство: пусть р- касательная к окружности с центром O,A -точка касания. докажем что р перендикулярна к радиусу AO

Предположим, что это не так. тода радиус OA является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр,проведенный из точки  O к прямой р ,меньше наклонной OA, то расстояние от центра  O окружности до прямой р  меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность  имеют две общие точки. Но это протеворечит условию: прямая р- касательная

Таким образом, прямая р перепендикулярна  к радиусу OA

А)r=ab/2=12 см
б) проведем высоту cl , из прямоугольного треугольника cld 
ld²=cd²-ab²=25²-24²=49
ld=7
если в четырехугольник вписана окружность,то сумма его противоположных сторон равна .
ab+cd=bc+ad
bc+ad=49
ad=bc+ld
bc+bc+ld=49
2bc+7=49
bc=21
ad=49-21=28
в)проведем радиус qf ,точка f лежит на прямой cd
qf  является высотой т. к. касательная к окружности перпендикулярна радиусу.
отметим на прямых bc и ad точки к и м ,так что бы км являлось диаметром и была параллельна ab,далее из свойств прямоугольной трапеции ,В которую вписана окружность
kc=cf=bc-r=21-12=9
ed=ef=ad-r=28-12=16
qf является высотой треугольника cdq, в прямоугольном треугольнике квадрат высоты равен произведению  отрезков ,на которые высота делит  гипотенузу
qf²=16*9
12²=16*9
144=144
следовательно треугольник cdq прямоугольный