Площадь сферы равна 20см² . На каком расстоянии от центра сферы надо провести плоскость сечения, таким образом, чтобы площадь круга сечения была равна 2, 75 см²?

В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

Доказательство:

Надо доказать, что существует точка, равноудаленная от сторон многоугольника.

Пусть О - центр окружности, описанной около правильного многоугольника.

Тогда ОА₁ = ОА₂ = ОА₃ = ... как радиусы описанной окружности, значит треугольники ОА₁А₂, ОА₂А₃ и т.д. равны по трем сторонам (отрезки А₁А₂, А₂А₃ и т.д. равны, как стороны правильного многоугольника),

но тогда равны и высоты этих треугольников, проведенные к сторонам А₁А₂, А₂А₃ и т.д.

Значит, точка О равноудалена от сторон многоугольника, и окружность с центром в точке О и радиусом, равным ОК₁, пройдет через точки К₁, К₂, и т.д., то есть будет касаться сторон многоугольника и значит будет вписанной.

В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Докажем, что эта окружность единственная.

Предположим, что существует еще одна окружность с центром в некоторой точке О₁, вписанная в тот же правильный многоугольник.

Тогда точка О₁ равноудалена от сторон этого многоугольника, значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов, значит совпадает с точкой О - точкой пересечения его биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон, т.е. равен ОК₁, значит эти окружности совпадают.

Латиница заменена русскими

Трапеция АВСД, проводим биссектрису угла В до пересечения с со стороной АД - точка Р, угол АРВ=углуРВС как внутренние разносторонние = углу АВР, треугольник АВР равнобедренный АВ=АР=13, АФ - биссектриса угла А = медиане, высоте , точка Ф середина ВР, проводим линию ФК параллельно АР до пересечения с АВ , ФК стредняя линия треугольника АВЗ = АР/2=13/2=6,5,

продлеваем биссектрису углаС до пресечения со стороной АД - точка Т, угол СТД=углуТСВ как внутренние разносторонние =углуТСД, треугольник ТСД равнобедренный, ТД=СД=15,

ДГ биссектриса угла Д = медиане, высоте, точка Г лежит на середине ТС, проводим ГМ параллельноТД до пересечения с СД, ГМ=средняя линия треугольника ТСД = 1/2ТД =15/2=7,5, Линия КМ-средняя линия трапеции = 1/2(ВС+АД)=1/2(16+30) =23

ФГ= КМ-КФ-ГМ=23-6,5-7,5=9