Найдите площадь треугольника, если его основание равно 22 см., а высота, проведённая к этому основанию равна 5 см

Отрезок, соединяющий основания высот треугольника, является стороной ортотреугольника (т.е. треугольника, вершинами которого являются основания высот исходного).  Радиусы описанной окружности, проведённые к вершинам треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника.

  Доказательсто:  У прямоугольных треугольников АС1С и АА1С общая гипотенуза, а, значит, около них можно описать одну окружность. Четырехугольник АСА1С1 вписанный. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника 180°.

Угол С1АС=угол ВА1С1 ( составляют 180° в сумме с углом С1А1С)

 Вписанный угол ВАС и угол ВАС - между касательной и хордой – равны половине дуги ВС ( свойство), следовательно,  ∠ВАС=∠ВАС

Прямые ВК и С1А1  пересекаются  секущей ВА1, накрестлежащие ∠КВА1=∠ВА1С1 ( доказано выше).⇒ ВК и С1А1 параллельны.

 Радиус, проведенный в точку касания с прямой, перпендикулярен этой прямой. Следовательно, ВО перпендикулярен  как ВК, так и С1А1, что и требовалось доказать.

1. Внешний угол при вершине С треугольника ABC равен 140°, а внутренний угол при вершине B-70°. Укажите наименьшую сторону треугольника.

2. В треугольнике ABC  AB=3 см, BC=10 см. Почему равен AC?

Объяснение:

1)ΔАВС ,∠В=70°, А-С-К, ∠ВСК=140° . Указать меньшую сторону.

Внешний угол ∠ВСК=∠А+∠В ⇒ ∠А=140°-70°=70°.

∠АСВ=180°-140°=40°.

В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона ⇒ меньший угол ∠АСВ, значит меньшая сторона АВ.

2)Пусть сторона АС=х

Длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон ⇒

х+з>10  или  х>7

х+10>3  или  х>-7  можно отбросить ,т.к. х-положительно

3+10>х   или  13>х  или  х<13.

Т.о.  7<x<13