Основания трапеции относятся как 3: 4, длина диагонали равна 35 см. найдете отрезки, на которые делит эту диагональ другая диагональ трапеции

(без рисунка)
Пусть АВСД - данная трапеция, ВС║АД, ВС:АД=3:4, О - точка пересечения диагоналей, АС=35 см.
ΔВОС подобный ΔДОА(углы О у обоих - вертикальные, остальные пары углов - внутренние разносторонние).
Отсюда АО:ОС=3:4. Положим ОС=3х см, тогда АО - 4х см.
Составим уравнение:
3х+4х=35
7х=35
х=5 см.
ОС=3*5=15см, 
АО=4*5=20 см.
ответ: 15 см и 20 см.

Решаем на основании: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.  Вершину пирамиды обозначим буквой Е. Параллелограмм АВСД, где АС и ВД-диагонали параллелограмма. Формула АС2+ВД2=2(АВ2+ВС2). Из нее находим АС2=2(АВ2-ВС2) - ВД2=80. Тогда АС=корень квадратный из 80. Противоположные боковые ребра равны. Находим из теоремы Пифагора ребра ДЕ и ВЕ.  ДЕ=ВЕ=корень квадратный из суммы 9 в квадрате+4 в квадрате=корень квадратный из 25=5см. Ребра АЕ=СЕ=корень квадратный из суммы (корень квадратный из 80, деленный на 2 в квадрате+  4 в квадрате), получится корень квадратный из 36=6см.

)

Задача №3
См. рис. 3. BC || AD, AB и CD — бёдра трапеции. Докажем, что AB=CD.

Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180° (необходимое условие). То есть ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

С другой стороны, сумма углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равна 180° (по теореме о параллельных прямых BC и AD и секущей AB). Следовательно, ∠A+∠B=∠C+∠D=180°.

Сопоставив эти равенства, получим, что ∠A=∠D и ∠B=∠C. Является ли это доказательством, что трапеция равнобедренная? Я не помню, изучают ли в школе эту теорему, поэтому на всякий случай докажу.

Проведём высоты BE и CF (см. рис. 4). Они равны, так как все высоты трапеции равны. Поэтому прямоугольные треугольники ABE и DFC равны (по острому углу и катету). Значит, равны их гипотенузы — AB и CD, что и требовалось доказать.