7. сумма углов на стороне ab равностороннего треугольника abc выбрали 6 точек d1, d2, …, d6, делящих сторону ab на равные части, то есть ad1=d1d2=…=d6b. на стороне bc выбрали такую точку p, что ad1=cp. найдите градусную меру суммы углов ∠cd1p+∠cd2p+⋯+∠cd6p.

Там много углов, в сумме дающих 180 градусов, а с оставшимися просто разобраться.
∠CD₁P=∠CD₁B-∠PD₁B
∠CD₂P=∠CD₂B-∠PD₂B
∠CD₃P=∠CD₃B-∠PD₃B
∠CD₄P=∠CD₄B-∠PD₄B
∠CD₅P=∠CD₅B-∠PD₅B
∠CD₆P=∠CD₆B-∠PD₆B


∠CD₁P+∠CD₂P+∠CD₃P+∠CD₄P+∠CD₅P+∠CD₆P =
+(∠CD₁B+∠CD₆B)
+(∠CD₂B+∠CD₅B)
+(∠CD₃B+∠CD₄B)
-∠PD₁B - ∠PD₄B
-(∠PD₂B+∠PD₆B)
-(∠PD₃B+∠PD₅B)
=
+180
+180
+180
-60-90
-180
-180
=180-60-90 = 30°

√2

Объяснение:

Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат, а боковые грани равные равнобедренные треугольники.

SO - высота пирамиды, значит DO - проекция бокового ребра SD на плоскость основания, тогда

∠SDO = 45° - угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Пусть Н - середина CD. тогда

SH⊥CD, так как медиана равнобедренного треугольника CSD является и высотой и

ОН⊥CD (ОН - средняя линия ΔACD, значит ОН║AD, а AD⊥CD), тогда

∠SHO - угол наклона боковой грани к плоскости основания - искомый.

______

ΔSOD:  ∠SOD = 90°, ∠SDO = 45°, значит ∠OSD = 45°, треугольник равнобедренный,

SO = OD = SD / √2 = 5/√2 см

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, значит

OC = OD, ΔCOD равнобедренный, прямоугольный, CD - его гипотенуза:

CD = OD√2 = 5/√2 · √2 = 5 см

ОН = CD/2 = 2,5 см как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.

Подобие получившихся прямоугольных треугольников доказывается легко:
прямоугольные треугольники с двумя вертикальными ((равными))) углами --- 
подобны по двум углам...
запишем соответствующую пропорцию:
ВВ1 / СС1 = АВ1 / АС1 = АВ / АС (((гипотенузы всегда пропорциональны...))) 
последнее равенство можно переписать так:
АВ1 / АВ = АС1 / АС
ведь в пропорции произведение крайних членов = произведению средних членов))) значит произведение средних членов можно записать АС1*АВ = АВ*АС1
ведь от перестановки сомножителей произведение не меняется...
т.е. равенства тождественно верны)))
но второе равенство читается так: стороны треугольника АВ1С1 пропорциональны сторонам треугольника АВС (((две стороны))), но углы между этими сторонами равны (((как вертикальные))) --- имеем второй признак подобия треугольников...
треугольники АВ1С1 и АВС подобны