Знайти координати вершини d паралелограма abcd, якщо a(-2; 3), b(4; 5), c(2; 1)

Диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
Найдем координаты середины отрезка АС, как полусумма соответствующих координат, точка О
A(-2;3), C(2;1)

х=(-2+2):2=0
у=(3+1):2=2
О(0; 2)

Теперь обратная задача, известны координаты конца B(4;5)  и середины отрезка О(0; 2). Найти координаты второго конца отрезка.
(4+х):2=0
х=-4
(5+у):2=2
у=-4
D(-4; -4)

Объяснение:

Уявімо собі трикутник АВС з основою АС, вписане коло з центром О. Ця окружність буде стосуватися до сторони АВ в точці М, а до основи АС в точці Р. За умовами - АМ: МВ = 4: 5

Периметр  трикутника: P=AB+BC+AC=52

Розглянемо трикутники АМО і АРО:

Кути М=Р=90 (це радіуси кола), отже ОМ=ОР, АО - загальна сторона.

Отже трикутник АМО=АРО і отже АР=АМ АР:МВ=4:5

Визначимо одиницю пропорції як х, тобто АР:МВ=4:5=4х:5х

AB=BC=4x+5x за умовами

AC=4x+4х

2(4x+5x)+(4x+4x)=52

8x+10x+8x=52

26x=52

x=2

AB=BC=4*2+5*2=18

AC=4*2+4*2=16

1. Дано: прямΔАВС с гипотенузой АВ; АВ=10, ∠СВА=60°;

Найти: ВС-?

Решение: ∠ВАС=90°-60°=30°, ВС - катет, лежащий против угла в 30°, он равен половине гипотенузы ВА, т.е. 5.

ответ: 5.

2. Дано: прямΔАВС с гипотенузой АВ; ∠АВС=45°, высота СD=8;

Найти: АВ-?

Решение: ΔАВС р/б, ∠САВ=45° (90°-45°); высота CD является медианой для гипотенузы АВ. По свойству, CD=1/2АВ. Т.е. АВ=16.

ответ: 16.

3. Дано: прямΔАВС с гипотенузой АВ; ∠ВАС=30°;

mЕ∈АС, ∠ВЕС=60°, ЕС=7;

Найти: АЕ-?

Решение: ∠ЕВС=90°-60°=30°, ЕС - катет, лежащий против угла в 30°, он равен половине гипотенузы ВЕ, т.е. ВЕ=14. ∠АВС=90°-∠ВАС=60°. Т.е. ∠АВЕ=60°-∠ЕВС=30°, ⇒ ΔАВЕ р/б, т.к. ∠ВАЕ=∠АВЕ, ⇒АЕ=ВЕ=14.

ответ: 14.

4. Дано: р/б ΔАВD с основанием ВD, АС - высота, CD=3.5см;

Найти: ∠В и ∠С;

Решение: АС⊥ВD, значит ∠ВСА=90°. АС является медианой для ВD, т.к. проведена к основанию, ⇒ ВС=3.5. АВ=1/2ВС, ⇒ ∠ВАС=30°, ⇒ ∠АВС=90°-30°=60°.

ответ: 60°, 90°.

5. Дано: прямΔРКЕ с гипотенузой РЕ; внеш.уг. при вершине Р=150°; КЕ=9; КС-высота;

Найти: РС и СЕ;

Решение: ∠КЕР=150°-90°=60° (св-во внеш. уг.); ∠СКЕ=90°-60°=30°, ⇒ СЕ - катет, лежащий против угла в 30°, он равен половине гипотенузы КЕ, ⇒ СЕ=9:2=4.5. ∠КРЕ=180°-150°=30° (смеж.уг.); КЕ - катет, лежащий против угла в 30°, он равен половине гипотенузы РЕ, ⇒ 9*2=18. РЕ=РС+СЕ, ⇒ РС=18-4.5=13.5.

ответ: 13.5 - РС, 4.5 - СЕ.

6. Дано: прямΔСАВ с гипотенузой АВ; внеш. уг. при вершине В=150°; АА₁-биссектриса ∠САВ; АА₁=20;

Найти: СА₁;

Решение: ∠САВ=150°-90°=60° (св-во внеш. уг.); ∠САА₁=1/2∠САВ, ⇒ ∠САА₁=60°:2=30°; СА₁ - катет, лежащий против угла в 30°, он равен половине гипотенузы АА₁, ⇒ СА₁=20:2=10.

ответ: 10.