Авса1в1с1-правильная треугольная призма, все рёбра которой равны между собой.вычислите угол между прямыми ав1 и тк, где точки т и к-середины рёбер сс1 и ас соответственно

Пусть ребра единичные. 
Пусть A-начало координат. 
Ось X - AC
Ось Y - перпендикулярно X в сторону B 
Ось Z - AA1

Координаты точек 
B1 ( 0.5 ; √3/2 ; 1)
T ( 1 ; 0 ; 0.5)
K ( 0.5 ; 0 ; 0) 

Вектора AB1 ( 0.5 ; √3/2 ; 1) длина √(1/4+3/4+1) = √2
Вектора TK (  -0.5 ; 0 ; -0.5 ) длина √(1/4+1/4)= 1/√2

Косинус искомого угла 
| AB1*TK | / | AB1 | / | TK | = | -1/4 - 1/2 |  = 3/4   

Угол ~ 41 градус

По первому признаку подобия треугольников имеем, что данные равнобедр.треуг. подобны. Коэффициент их подобия равен как отношению соотв.сторон, так и отношению периметров. Найдем боковые стороны первого треугольника. Высота к основанию является также медианой, значит по теореме Пифагора боковая сторона равна кореньиз(64+36)=10. Периметр первого треугольника равен 10+10+16=36. Коэффициент подобия k=54/36=3/2=1,5. Значит боковые стороны второго равнобедр.треугольника равны 10*1,5=15 см, а основание равно 16*1,5=24 см.

В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза  с, прямой угол С,
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Поскольку  угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны
 (а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r).
Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.