Окружность вписана в прямоугольную трапецию, средняя линия которой равна 7 см, а боковая перпендекулярная основаниям, равна 4 см. найдите другую боковую сторону.

Точка касания вписанной окружности делит верхнюю сторону на части 2 и x, нижнюю на 2 и y, наклонную на x и y
Средняя линия
(2+x+2+y)/2 = 7
4+x+y = 14
x+y = 10
y=10-x
Проекция наклонной стороны на основание
(2+y)-(2+x) = y-x
высота трапеции 4 см
И по Пифагору
4²+(y-x)² = (x+y)²
Подставим
4²+(10-x-x)² = (x+10-x)²
4²+(10-2x)² = 10²
(10-2x)² = 10²-4² = 100-16 = 84
10-2x₁ = √84
x₁ = 5-√21 см
y₁=10-x₁ = 5+√21
x₁+y₁ = 10 см
10-2x₂ = -√84
x₂ = 5+√21 см
y₂ = 10-x₂ = 5-√21 см
x₂+y₂ = 10 см
Готово :)

В ромбе все стороны одинаковые⇒ каждая их них равна четверти периметра, то есть 5. Рассмотрим один из треугольников, на которые диагонали разбивают ромб, обозначим его катеты через x и y (они равны половинам диагоналей). По условию x+y=7, а по теореме Пифагора 
x^2+y^2=25. Можно, кстати, сразу усмотреть египетский треугольник 3-4-5, а можно так: первое уравнение возводим в квадрат: x^2+y^2+2xy=49 ;
после чего берем разность между получившимся уравнением и вторым: 
2xy=24; xy=12⇒площадь треугольника равна S=(1/2)xy=6, а площадь ромба в 4 раза больше.

ответ: 24

Окружность является вписанной для большого треугольника и описанной для маленького.
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен R = a/√3.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен r = b/2√3.
Окружность является одновременно и вписанной и описанной, тогда a/√3 = b/2√3.
a = b/2.
a/b = 1/2.
Т.к. эти треугольник равносторонние, то все углы у них равны. Тогда они еще и подобны по I признаку.
Из подобия следует, что их площадь относятся как квадраты их сторон, т.е. S1/S2 = (a/b)² = 1/4.
Значит, площадь описанного треугольника в четыре раза больше вписанного.