Вокружности диаметр которой равен 58 проведена хорда длина которой равна 42. найдите расстояние от центра окружности до хорды.

По рисунку, думаю, будет понятно.(отрезок 29 - это радиус, равный половине диаметра;диаметр делит хорду пополам)
Осталось найти расстояние от середины окружности до хорды, воспользуемся теоремой пифагора:
29^2-21^2=400
корень из 400=20
следовательно, расстояние равно 20.

1
Это ответ :)
На самом деле тут нужна теория. 
1). Фигура AB1D1A1 - правильная треугольная пирамида с основанием AB1D1. Вершина A1 проектируется на основание в центр O правильного треугольника AB1D1.
С другой стороны, фигура AB1D1C - тоже правильная пирамида с основанием AB1D1 (на самом деле это вообще правильный тетраэдр, у которого все грани и ребра одинаковые). Поэтому вершина C проектируется на основание в центр O правильного треугольника AB1D1.
Это означает, что точки A1 и C лежат на прямой, перпендикулярной плоскости AB1D1, и проходящей через точку O. 
Другими словами, ДОКАЗАНО, что плоскость AB1D1 перпендикулярна большой диагонали куба A1C.
Совершенно так же доказывается, что A1C перпендикулярна плоскости BDC1.
Само собой, плоскости AB1D1 и BDC1 параллельны.
2) Теперь надо обозначить O1 - центр треугольника BDC1 (через эту точку проходит диагональ A1C). M - середина BD и AC, M1 - середина B1D1 и A1C1.
Тогда из параллельности плоскостей AB1D1 и BDC1 
AO/OO1 = A1M1/M1C1 = 1; 
CO1/OO1 = CM/MA = 1; 
То есть все три отрезка A1O = OO1 = CO1.
Ясно, что OO1 - искомое расстояние между плоскостями (я напоминаю - A1C перпендикулярна обеим плоскостям).
Вот, теория закончилась. Дальше решение :)
A1C = 3, => OO1 = 1;

 Теорема Фалеса. 

Если на одной из двух прямых отложить несколько  отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.

Пусть дан отрезок ВС. 

От конца В отрезка начертить луч  и на нем от В отметить через равные промежутки 5 точек. Из пятой точки провести прямую через т.С отрезка ВС и провести параллельно ей прямые, пересекающие  отрезок ВС. Этими прямыми ВС  будет разделен на 5 равных частей. Любые две соседние части  равны 2/5 исходного отрезка ВС.