Ана прямая призма abca1b1c1. плоскость, проходящая через центр основания a1b1c1 и середину k ребра bc, параллельна прямой ab. эта плоскость пересекает прямую cc1 в точке l. а) докажите, что cl =3cc1.

А) Пусть x - угол между боковыми сторонами. 
Тогда угол при основании равен 4x. Так как треугольник равнобедренный ,углы при основании равны. Следовательно третий угол также равен 4x.
Составим уравнение: 
x+4x+4x=180
9x=180
x=20.
(180-20)/2=80° - два других.

б) Пусть основание равнобедренного треугольника - x. Тогда боковые стороны - по 2x.
P=2x+2x+x ,но боковая сторона на 12 меньше периметра ,значит периметр на 12 больше боковой ,то есть P=2x+12.
2x+12=2x+2x+x
3x=12
x=4 
Боковые стороны равны 4*2=8.

в) Внешний угол с основанием треугольник образует развернутый угол ,равный 180°. 
Углы при основании = 180 - 130 - 50°.
Угол при вершине= 180 - 100 = 80°. 

Основание правильной пирамиды - равносторонний треугольник АВС. Вершина S правильной пирамиды проецируется в  т.О – центр правильного треугольника АВС. 

Сечение KLM- треугольник.

Искомая площадь    S=a•h:2, где a=ML, h=KO 

Угол МАL=60°, CL=BM, следовательно, AL=AM  ⇒∆ AML – правильный.  

АL=AM=9-3=6,⇒  ML=6

Высота основания AH=AB•sin60°=9√3/2=4,5√3

Грани пирамиды - равнобедренные треугольники. 

По т.Пифагора из ∆ SHB:

SH²=SB²-BH²=144-20,25=123,75

По т. косинусов  вычислим косинус ∠SAH: 

SH²=SA²+AH² - 2•SA•HA•cos∠SAH

123,75=144+60,75 - 2•12•4,5√3•cosSAH

-81= -12•9√3•cos∠SAH

Из  ∆ KLM по т. косинусов 

КО²=КА²+АО²-2•AO•KO•cos∠KAO

КА=SA-SK=12-3=9

AO=2/3 AH=3√3

КО²=81+27 - 2•9•3√3•√3):4 

КО²=67,5

КО=1,5√30

S ∆KLM=0.5•6•1,5√30=4,5√30