Отрезок at — биссектриса треугольника abc.вычислите градусные меры углов треугольника atc, если известно, что at = bt и угол abc = 20 градусов.

ΔАВТ-равнобедренный по  условию, значит ∡ВАТ=∡ТВА=∡ТАС=20°.
Тогда ∡ВТА=180-2*20=140°, смежный с ним ∡АТС=180-140=40°, 
∡С=180-40-20=120°.

Пусть дуга АВ, пропорциональная числу 6, будет 6х, а дуга, пропорциональная 9, будет 9х. Запишем сумму этих дуг:
6х+9х=360
15х=360
х=24
Меньшая дуга АВ равна 6*24=144°.
Рассмотрим треугольник АВС. Он прямоугольный, т.к. вписанный угол В опирается на диаметр (вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Рассмотрим эти углы.
Угол С - вписанный, опирающийся на меньшую дугу АВ, равную 144°. Значит, он равен ее половине:
<C=1/2*144=72°
<A=90-<C=90-72=18°

Т.к АЕ-биссектрисса и АВСД - прямоугольник, то угол ВАЕ=45 (90/2). Получившийся треугольник АВС - прямоугольный (угол В=90 гр). Тогда угол ВЕА=180-90-45=45 гр. Т.к. углы ВЕА и ВАЕ =45 гр, то треугольник АВЕ равнобедренный. Пусть ЕС будет х, тогда ВЕ будет 3х (в 3 раза длиннее). Тогда ВС=3х+х=4х и АД=4х, т.к АВСД - прямоугольник.
Треугольник АВЕ - равнобедренный (как доказали выше), тогда АВ=ВЕ=3х.
Но АВ также равно СД (АВСД прямоугольник).
Получаем: 3х+4х+4х+3х=42 см
14х=42 
х=3см Следовательно: АД=ВС=4*3=12 см
АВ=СД=3*3=9 см