Составьте уравнение окружности касающейся осей координат и прямой х=6

Если окружность касается осей координат и прямую х=6, следовательно она находится в 1 или 4 четверти.

Расстояние от оси Оу до прямой х=6 равна 6. Это будет диаметр окружности, значит радиус равен 3.

Центр в точке (3; 3)


Центр в точке (3; -3)

Задача элементарная, но хорошо сформулированная.
Не "какие-то" две вершины, а вершины той стороны, которой касаются обе упомянутые окружности (то есть - той, которая их общая внутренняя касательная).
Доказать это очень просто.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов, поэтому угол, под которым видна эта сторона из центра, равен 180° минус полусумма углов при этой стороне.
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов при этой стороне (и биссектрисы третьего внутреннего угла, но это тут не важно), то есть угол, под которым сторона видна из этой точки, равен просто полусумме внутренних углов (ну, 180° минус полусумма внешних, что и дает полусумму внутренних).
То есть сумма этих углов равна 180°, что означает, что все четыре точки (два центра и концы стороны) лежат на одной окружности.

ответ: 5:3

Объяснение:        Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.  Обозначим точку пересечения биссектрисы АD и высоты СН буквой К. Тогда СК:КН=АС:АН.

   В прямоугольном треугольнике катет есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

  АС - катет, АН его проекция на гипотенузу.  Примем АН=х ⇒ АС²=АВ•АН ⇒ 7,5²=12,5•х, откуда х=4,5

Искомое отношение СК:КН=7,5:4,5=5:3