Довести що це параллелограмм​

1)Пусть С- прямой угол в прямоугольном треугольнике АВС, тогда СН-высота проведенная к гипотенузе, СМ- биссектриса,проведенная к гипотенузе.
2)По условию сказано, что угол между СМ и СН равен 15 градусов.
3)По свойству биссектрисы угол АСМ= углу МСВ=45 градусов(т.к С по условию 90),значит, так как угол НСМ=15 градусов, а угол НСМ+угол АСН=45 градусов, то угол АСН равен 30 градусам.
4)Так как СН высота, то угол СНА равен 90 градусов, следовательно угол САН=60 градусов( по теореме о сумме углов треугольника).
5)Значит, в треугольнике АВС угол В = 180-90-60=30 градусов( по теореме о сумме углов треугольника)
6) Так как в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы, то АС=3 см
7) По теореме Пифагора СВ= 3 корня из 3
ответ: 3 и 3корня из 3

Точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС (∠АСВ = 90°) и расположена на расстоянии 4√2 см от его плоскости. Проекция точки Р на плоскость ΔАВС принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой РС и плоскостью (АВС), если АС = 12 см,  ВС = 16 см.

Решение

1) Тк точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС, то  проекцией точки Р на плоскость ΔАВС  является центр описанной окружности , те середина   гипотенузы (точка Е).

Углом между прямой РС и плоскостью (АВС) есть угол между прямой РС и ее проекцией ЕС , те ∠РСЕ.

2)ΔАВС, по т Пифагора АВ=√(АС²+ВС²) , АВ=√(12²+16²)=20 (см)

АЕ=ВЕ=20:2=10 (см). Точка Е-центр описанной окружности R=АЕ=ВЕ=СЕ=10 см.

3)ΔРЕС-прямоугольный (∠РЕС=90°) , tg∠PCE=PE/CE , tg∠PCE=4√2/10=2√2/5,     ∠PCE=arctg(2√2/5).