Впрямоугольном треугольнике острый угол равен 45о. найдите катет если сумма гипотенузы и высоты опущенной на нее равна 12\sqrt{2}

Второй острый угол равен 180-90-45 = 45°
Треугольник равнобедренный
Длина катета z
По теореме Пифагора гипотенуза с
с² = z² + z² = 2z²
c = z√2
Площадь треугольника через два катета
S = 1/2*z*z = z²/2
Площадь треугольника через гипотенузу и высоту к ней
S = 1/2*c*h
z²/2 = c*h/2
z² = c*h
Подставим сюда длину гипотенузы
z² = z√2*h
z = h√2
h = z/√2
Сумма гипотенузы и высоты дана по условию
c + h = 12√2
z√2 + z/√2 = 12√2
2z + z = 12*2
3z = 24
z  = 8

1.

М - середина АВ, значит МВ = АВ/2

Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2

Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2

G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию

PB + EC + GA = 12

АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12

1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12

АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ

ВЕ = 3/4 ВС

CG = 3/4 AC

По условию

AP + BE + CG = 108

3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108

3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108

АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

Площадь боковой поверхности цилиндра: S=2πRH=8√3π ⇒ Н=4√3/R.
Сечение цилиндра проходит через хорду АВ в основании, отстоящую от центра окружности на 2 см. ОМ=2 см. АМ=ВМ, М∈АВ, АО=ВО=R.
В прямоугольном тр-ке АОМ АМ=√(АО²-ОМ²)=√(R²-4).
АВ=2АМ=2√(R²-4).
По условию АВ=Н. Объединим оба полученные уравнения высоты.
4√3/R=2√(R²-4), возведём всё в квадрат,
48/R²=4(R²-4),
12=R²(R²-4),
R⁴-4R²-12=0,
R₁²=-2, отрицательное значение не подходит.
R₂²=6.
Н=2√(6-4)=2√2 см.
Площадь искомого сечения равна: S=H²=8 см² - это ответ.