Ещё этот вариант, № 1. на стороне ам треугольника авм отмечена точка н так, что ан: нь = 4: 7; точка с – середина стороны ав, точка о –середина стороны отрезка вн, ам = 22 см, ∟вос = 1050. найдите со и угол внм. № 2. в прямоугольном треугольнике mnk ∟k= 90, km = 6см, nк =6√3 см, кd- медиана. найдите угол кdn. № 3. в равнобедренной трапеции боковая сторона равна 6 см, меньшее основание 10 см, а меньший угол α . найдите площадь трапеции. № 4. в прямоугольном треугольнике авс (∟с =900) медианы пересекаются в точке о, ов = 10 см, вс = 12 см. найдите гипотенузу треугольника. № 5. в трапеции авсd ∟а =90, ас= 6√2, вс=6, dе –высота треугольника асd, tg∟acd= 2. найдите се.

1. Зная, что отрезок АМ разбит на 4+7=11 частей, находим длину одной части: 22:11=2 см, значит
АН=4*2=8 см
2. Рассмотрим треугольник АВН: СО здесь - средняя линия, поскольку соединяет середины сторон. Значит, СОIIАН и СО=1/2АН,
СО=8/2=4 см
3. Треугольники СВО и АВН подобны по второму признаку подобия: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны. В нашем случае:
ВС/ВА=ВО/ВН=1/2, а угол В - общий. Значит, углы подобных треугольников соответственно равны, и
<ВОС=<ВНА=105°
4. Зная, что развернутый угол АНМ равен 180°, находим угол ВНМ:
<ВНМ=180-<ВНА=180-105=75

Построим ромб, нормаль ОК, и отрезки КА, КВ, КС, КД.

Рассмотрим прямоугольный ΔКОД. В нем известен катет ОК=8см, катет ОД=ВД/2=3 см (по свойствам диагоналей ромба, точкой пересечения они делятся пополам). Найдем гипотенузу КД=√(64+9)=√73 см.

КД=КВ=√73 см.

Рассмотрим прямоугольный ΔАОД (диагонали ромба пересекаются под прямым углом). В нем известен катет ОД=3 см, гипотенуза АД=5 см. Найдем катет АО=√(25-9)=√16 =4см.

АО в свою очередь является катетом в прямоугольном ΔАОК, где известен второй катет КО=8 см. Найдем гипотенузу КА=√(64+16)=√80

4√5 см.

КА=КС=4√5 см.

ответ: расстояния от точки К до вершин ромба КД=КВ=√73 см, КА=КС=4√5 см.

Построим ромб, нормаль ОК, и отрезки КА, КВ, КС, КД.

Рассмотрим прямоугольный ΔКОД. В нем известен катет ОК=8см, катет ОД=ВД/2=3 см (по свойствам диагоналей ромба, точкой пересечения они делятся пополам). Найдем гипотенузу КД=√(64+9)=√73 см.

КД=КВ=√73 см.

Рассмотрим прямоугольный ΔАОД (диагонали ромба пересекаются под прямым углом). В нем известен катет ОД=3 см, гипотенуза АД=5 см. Найдем катет АО=√(25-9)=√16 =4см.

АО в свою очередь является катетом в прямоугольном ΔАОК, где известен второй катет КО=8 см. Найдем гипотенузу КА=√(64+16)=√80

4√5 см.

КА=КС=4√5 см.

ответ: расстояния от точки К до вершин ромба КД=КВ=√73 см, КА=КС=4√5 см.