Периметр равнобедренного треугольника abc равен 112 см (ас - основание боковая сторона относится к основанию, как 2: 3. медиана bd равна половине боковой стороны. а) найдите периметр ∆ авd; б) докажите, что ∆ ваd = ∆ bcd.

Если боковые стороны относятся к основанию как 2:3, то можно обозначить их длину как 2х, тогда длина основания будет 3x. Зная периметр треугольника нетрудно определить значение x из уравнения:
2x+2x+3x = 112
то есть
x = 112/7 = 16

Теперь, что касается треугольника ABD.
AB = 2x = 16*2 = 32 (боковая сторона исходного треугольника).
BD = x = 16 (равна половине боковой стороны). 
AD = 3x/2 = 24 (половина основания).
Периметр ABD = 32 + 16 + 24 = 72
 
Треугольники BAD и BCD равны так как у них равны стороны. AB=BC (в равнобедренном треугольнике), BD=BD (общая сторона), AD=DC (как половинки основания ввиду того, то BD - медиана, то есть делит основание пополам).

211) Найдем гипотенузу треуг х²=40²+42² х²=1600+1764=3364 х=58, по теореме синусов а/sinα=в/sinβ=с/sinω=2R, где а, в, с, с-стороны треуг, α,β,ω-углы соответственно противолежащие этим сторонам, R-радиу описанной окружности. Мы незнаем углы лежащие напротив сторон 40 и 42, но знаем, что есть прямой угол и гопотенузу, тогда из этой теоремы пусть а-гипотенуза, тогда α=90-прямой угол,    а/sinα=2R 58/sin90=2R 58/1=2R  R=58/2=29см.
2) Равносторонний треугольник-все стороны и углы равны, пусть а-сторона треуг, тогда а=(6√3)/3=2√3, α-углы треуг=180/3=α=60, тогда по теореме синусов   а/sinα=2R (2√3)/sin60=2R=(2√3)/(√3/2)=4  R=4/2=2
3) r=√(((р-а)(р-в)(р-с))/р), где r-радиус вписанной окружности, р-полупериметр треуг р=(а+в+с)/2, а, в, с-стороны треуг. р=(13+14+15)/2=21  r=√(((21-13)(21-14)(21-15))/21)=√((8*7*6)/21)=√336/21=√16=4

1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 9 см, а его площадь 36 см . найдите высоты параллелограмма.

Это можно решить используя формулу площади параллелограмма:

S=a*h, где а - основание, h - высота

Тогда, h1=S/a=36/9=4 см,

h2=S/b=36/12=3 cм.

2. Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая сторона 5 см, площадь 44 см. Найдите высоту трапеции.

Решение;

32-2*5= 32-10= 22

22/2= 11

h= 44/11= 4 см

3. Высоты, проведённые из вершин меньшего основания равнобедренной трапеции, делят большее основание на три отрезка, сумма двух из которых равна третьему. Найдите площадь этой трапеции, если её меньшее основание и высота равны по 6 см.

АВСD - трапеция, АВ=СD, ВК⊥АD, СМ⊥АD, ВК=ВС=СМ=КМ=6 см., ΔАВК=ΔDСМ.

АК+DМ=КМ, АК=DМ=х,

х+х=6, 2х=6, х=3 см.

ΔАВК. S(АВК)=0,5·ВК·АК=0,5·3·6=9 см², S2=S3=9 см².

S1=ВС·ВК=6·6=36 см².

S(АВСD)=S1+S2+S3=9+36+9=54 см².

Другой ВС=6 см, АD=3+6+3=12 см. ВК=6 см ,

S(АВСD)= 0,5(ВС+АD)·ВК=0,5(6+12)·6=9·6=54 см².

ответ: 54 см²