Докажите что симметрия относительно точки есть движение

Движение — преобразование, при котором сохраняются расстояние между точками.

Пусть А и В произвольные точки. А симметричные им относительно точки О, А' и В'. Тогда

ОВ = ОВ' и ОА = ОА' так как О - точка симметрии и ∠ВОА = ∠В'ОА' — вертикальные углы. Так что ΔАОВ = ΔА'ОВ' (по 1-му признаку), значит, АВ = А'В'. Что и требовалось доказать.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани A₁B₁C₁D₁ пересекаются в точке O. Назовите линейный угол двугранного угла DA₁C₁D₁

––––––––––––––––––––––

Определение:  Двугранный угол — пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями.

Линейный угол-это угол образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

Все грани куба - квадраты. Их диагонали равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. 

Искомый угол - это угол DOD₁ между плоскостями А₁С₁D₁  и  A₁C₁D, где D₁O ⊥ A₁C₁, как половина диагонали грани, а DО ⊥ А₁С₁ как наклонная, чья проекция перпендикулярна прямой ( т. о трех перпендикулярах). Плоскость DD₁O перпендикулярна граням двугранного угла. 

В приложении с рисунком найдена и  примерная величина этого угла ≈ 54,7° 

Cм. рисунок и обозначения в приложении
По теореме косинусов
(2√3)²=6²+х²-2·6·х·cos 30°
12=36+x²-6√3·x=0
x²- 6√3·x+24=0
D=108-96=12
x=(6√3-2√3)/2=2√3     или    х=(6√3+2√3)/2=4√3

если х=2√3, то диагональ делит параллелограмм на два равнобедренных треугольника.
Углы параллелограмма 60° и 120°

если х=4√3
то по теореме косинусов ( α -  угол параллелограмма , лежащий против диагонали)
6²=(2√3)²+(4√3)²-2·2√3·4√3 ·cos α      ⇒     36=12+48-48·cosα⇒

cosα=0,5     

α=60°
второй угол параллелограмма 120°
см. рисунок 2
ответ 120° и 60°