Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10, а боковое ребро равно 13. найдите высоту пирамиды

Высота правильной пирамиды падает в центр основания. В основании лежит правильный n-угольник, в нашем случаи n=4, то есть это квадрат. Центр квадрата лежит на пересечении его диагоналей. Диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник гипотенуза которого является боковым ребром пирамиды, а катет - высотой (h) пирамиды. Другой катет равен 10:2=5 (половина диагонали квадрата). Гипотенуза равна 13. По пифагоровой тройке h=12. Ну или по теореме Пифагора:

ответ: 12.

1). Треугольники АМВ и СМВ равны по первому признаку равенства треуг-ов: две стороны и угол между ними одного треуг-ка соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого:
- АВ=СВ, т.к. АВС равнобедренный;
- ВМ - общая сторона;
- углы АВМ и СВМ равны, т.к. в равнобедренном АВС медиана BD, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. 

2). Треугольники AMD и CMD также равны по первому признаку равенства:
- AD=CD, т.к. BD - медиана АВС;
- MD - общая сторона;
- углы ADM и CDM - прямые, т.к. в равнобедренном АВС медиана BD, проведенная к основанию, является также и высотой.

Если все грани пирамиды находятся под одинаковым углом к основанию, значит вершина S пирамиды должна быть равноудалена от всех сторон основания пирамиды=> проекция точки S, точка O также должна быть равноудалена от всех сторон пирамиды, значит она находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника который лежит в основании.

Допустим AB=BC=32 дм, тогда из точки B опустим высоту/биссектрису/медиану BH на основание AC, так как O∈BH и BH⊥AC=> по теореме о трех перпендикуляров SH будет ⊥ AC.

Угол OHS двугранный=45° по условию.

--------

Треугольник  SOH прямоугольный т.к. SO⊥плоскости(ABC)=>SO⊥OH.

так-же он равнобедренный так-как ∠OSH=180-90-45=45=∠SHO, значит высота SO=OH.

Задача свелась к простейшей планиметрической задаче по нахождению OH.

---------------------

сделаем вынос Треугольника ABC:

AO биссектриса, BH-медиана/высота.

По теореме пифагора:

Из свойств биссектрисы для треугольника ABH:

ответ:

--------------

Если что-то непонятно задай вопрос.