Вычисли второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если катет ak=33√3 мм и ∢kao=30° ko= мм ao= мм

∠КОА=90-∠КАО=90-30=60°.
Решаем задачу по теореме синусов:
АК/sinКОА=КО/sinKAO⇒
KO=AK*sin30/sin60=(33√3*1/2)/√3/2=33√3*2/√3=66мм.
АО/sin90=KO/sinKAO⇒
AO=KO*sin90/sinKAO=66/(1/2)=132мм.

Решите уравнение, приравняв значения гипотенузы.
Из из решения этого уравнения
2 x² + 10 x -72 = 0
D (Дискриминант уравнения) = b² - 4ac = 676
Дискриминант больше нуля (D > 0) => Уравнение имеет 2 вещественных решения (корня)
√D = 26
Х первое =4 Х второе =-9
Гипотенуза равна 4+5=9
Из гипотенузы и высоты вычислить длину катетов.

Рисунок не вставляется. Нарисовать треугольник АВС, Провести высоту.
Обозначить меньший отрезок гипотенузы х, больший (х+5).
Найти квадраты катетов:
АВ из высоты 6см и х
ВС из высоты 6см и (х+5). (оставить их именно квадратами, не пытаясь извлечь корни)
Затем по теореме Пифагора приравнять квадрат гипотенузы (2х+5)² к квадрату гипотенузы, найденному из суммы квадратов катетов. Привести подобные члены и получить уравнение, которое дано выше, и решить.
Жаль, что картинка не вставляется, понятнее было бы.

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой C проведена высота CH, при этом AH=x, BH=x+5 (по условию, один из этих отрезков больше другого на 5 см). Тогда CH²=AH*BH, 6²=x(x+5), x²+5x=36, x²+5x-36=0. Решим это квадратное уравнение: D=25+36*4=169=13², x₁=(-5+13)/2=4, x₂=(-5-13)/2=-9, x₂ - посторонний корень, так как длина отрезка - положительное число. Тогда AH=4, BH=9, AB=13. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, в нём катеты AH и CH равны 4 и 6, тогда гипотенуза AC по теореме Пифагора равна √4²+6²=√52. Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник BCH, в котором катеты CH и BH равны 6 и 9, тогда гипотенуза BC по теореме Пифагора равна √6²+9²=√117. 

Таким образом, стороны треугольника равны √52, √117, 13.