Найдите объем правильной треугольной пирамиды сторона основания равна "а", а боковая грань образует с плоскостью основания угол "d"(альфа

V=(S(осн)*h)/3
S(осн)=(a^2(√3))/4
Вершина пирамиды проецируется в центр треугольника, который лежит на пересечении медиан. Медианы в свою очередь делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины. AH-медиана, высота, опущенная на BC. Образуется прямоугольный треугольник с катетом 0,5*a и гипотенузой a
AH=√((a^2-(0,5a)^2)=(a√3)/2
Поделим результат на 3, чтобы получить катет прямоугольного треугольника SOH, где S - вершина пирамиды, а O - центр треугольника
OH=(a√3)/6
В этом треугольнике мы знаем катет, угол альфа, прямой угол. Пусть альфа=α По теореме синусов
h/sin(α)=OH/(sin(90)-α);
h=OH*tg(α)
V=S(осн)*h=((a^2√3)/4)*((a√3)/(6)*tg(α)/3 = (a^3*tg(α))/24

Отрезки пересечения этой проведенной плокости с боковыми гранями пирамиды - это средние линии треугольников, образующих боковые ребра пирамиды. Значит эти отрезки параллельны ребрам основания пирамиды. По теореме о том, что если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум перескающимся прямым другой плоскости, то такие плосоксти параллельных, получаем требуемое утверждение. Полученный в сечении треугольник  подобен треугольнику, лежащему в основании пирамиды с коэффициентом подобия 1/2. Т.е. его площадь в 4 раза меньше площади основания, т.е. равна 16.

Подробно.

а) По определению проекция фигуры на плоскость - совокупность проекций всех точек этой фигуры на плоскость проекции.

Точка К проецируется в основание перпендикуляра КА, т.е. в т. А.

Т. В и С ∆ КВС лежат в плоскости ромба.  Через две точки можно провести только одну прямую. ⇒ 

Все точки сторон ∆ КВС проецируются на стороны ∆ АВС. ⇒ 

∆ АВС проекция ∆ КВС на плоскость ромба АВCД.

б) КА перпендикулярен плоскости ромба, следовательно, перпендикулярен любой прямой, проходящей в этой плоскости через т. А. ⇒КА⊥АС

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.⇒АС⊥ВД

АО - высота равнобедренного ∆ АВД.  Из ∆ АОВ по т.Пифагора АО=√(B²-BO²)=√(25-9)=4

 Расстояние от точки до прямой равно длине проведенного между ними перпендикуляра. 

КО по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярен ВД. 

Из прямоугольного  ∆ КАО расстояние КО=√(КА²+АО*)=√(9+16)=5 см