Впрямоугольном треугольнике abc (c=90) проведена высота cd докажите что если cba=30 то ab: bd = 4: 3

Чертёж и дано во вложении. итак, рассмотрим треугольник АВС. по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника угол ВАС равен 90°-30°=60°. тогда угол DCA равен 90°-60°=30° по той же теореме, а угол DCB равен 90°-30°=60°(вычитаем известную часть из прямого угла С). у нас есть два угла по 30°, и мы знаем, что катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. отсюда АС=0,5АВ и АD=0,5AC. объединив эти выражения, можем сделать вывод, что АD=0,5(0,5AB)=0,25AB. 0,25=1/4, значит, на весь отрезок АВ из 4 часей приходится только 1 часть АD. но ведь АВ состоит ещё и из DB, который, соответственно, составляет 4-1=3 части от АВ. то есть, АВ:ВD=4:3, что и требовалось доказать.

Cos30=CB/AB
√3/2=CB/AB
AB=CB*2/√3

cos30=BD/CB
√3/2=BD/CB
BD=CB√3/2

AB:BD=CB*2/√3:CB√3/2=CB*2*2:CB*√3*√3=4:3

M- точка пересечения диагоналей.
Прямоугольные треугольники ADM и ADE подобны, то есть AM/AB = AB/AE; или
AM*AE = AB^2;
Ясно, что AM = AC/2; Для AE возможны два варианта
1) точка E лежит ВНУТРИ ромба. В этом случае угол A ромба острый. 
AE = AC - CE; 
Получается уравнение (AC/2)*(AC - 12) = 8^2*5; AC^2 - 12*AC - 640 = 0 ; 
или AC = 32; отсюда AM = 16; BM^2 = (8^2*5 - 16^2) = 8^2; BD = 2*BM = 16; это меньшая диагональ.
2) точка E лежит ВНЕ ромба. В этом случае угол A ромба тупой. 
AE = AC + CE; 
Получается уравнение (AC/2)*(AC + 12) = 8^2*5; AC^2 + 12*AC - 640 = 0;
или AC = 20; это меньшая диагональ.
В задаче есть 2 варианта решения - в зависимости от того, где лежит точка E (или - какой угол A - острый или тупой).

131.

1) а) Пусть x - первый угол, тогда 5x - второй угол. Сумма односторонних углов равна 180°, поэтому составим уравнение:

x + 5x = 180°

6x = 180°

x = 30° - первый угол

5 * 30° = 150° - второй угол

б) Аналогично. x - один угол, 8x - второй угол. Уравнение:

x + 8x = 180°

9x = 180°

x = 20° - первый угол

8 * 20° = 160° - второй угол

2) а) x - один угол, x + 50° - второй угол. Уравнение:

x + x + 50° = 180°

2x = 130°

x = 65° - первый угол

65° + 50° = 115° - второй угол

б) x - первый угол, x + 70° - второй угол. Уравнение:

x + x + 70° = 180°

2x = 110°

x = 55° - первый угол

55° + 70° = 125° - второй угол

132.

1) ∠CBD и ∠ADB; ∠DBA и ∠BDC

2) ∠DAB и ∠ABD

3) а) ∠BCD = 47°; б) ∠BDA = 38°

133.

1) ∠MDA; AB

2) ∠DEC; BC

3) ∠BDE; AB

134.

а) ∠BDE = 48°; ∠ADE = 132°

б) ∠BED = 75°; ∠CEK = 75°