Существуют ли треугольник со сторонами 7 см 7 см 7 см или 4 см 5 см 6 см или 4 см 8 см 12 см и почему?

7 7 7 - существует, т.к. сумма двух сторон всегда больше третьей
4 5 6 - существует, по той же причине
4 8 12 - не существует, т.к. не выполняется неравенство треугольника
4 + 8 = 12 и три точки с такими расстояниями между ними будут лежать на одной прямой, не образуя треугольник

Осталось только выяснить, сосуд имеет форму конуса вершиной вверх или вершиной вниз.
V₀ = 1600 мл
1. Конус в классической ориентации - основание внизу, вершина вверху. 
Пустая часть конуса подобна полному конусу с линейным коэффициентом подобия k=1/2
Площади, например осевого сечения конусов или их полной поверхности будут при этом относиться как k²
Объёмы относятся как k³
Объём верхней пустой части сосуда составит
V₁ = V₀*k³ = 1600/8 = 200 мл
Объём жидкости, налитой до половины составит
V₂ = V₀-V₁ = 1600-200 = 1400 мл
2. Конус перевёрнут - основание вверху, вершина смотрит вниз
В этом случае заполнен только объём V₁ из пункта
V₁ =  200 мл

Откройте файл в отдельном окошке и читайте мои аннотации:
1) Чертим и отмечаем то, что нам известно
2) Здесь мы опускаем высоту CD, которая в равнобедренном треугольнике является и медианой, то есть делит сторону AB на две равные части AD и DB.
3) Находим углы при основании. Поскольку треугольник равнобедренный, то ∠A=∠B.
Так же мы сразу видим, что у нас есть 2 прямоугольных треугольника ΔADC и ΔCDB.
4)Когда мы нашли ∠A и ∠B, то с тангенса выражаем высоту, через половину длины основания.
5) Подставляем высоту, выраженную через половину длины основания и тангенса угла, в формулу площади равнобедренного треугольника и, таким образом, вычисляем чему равно основание AB.
6)Теперь в формуле площади ΔACB у нас неизвестная только одна высота CD. Мы можем её найти, что мы и делаем.
7) (На картинке данный пункт отмечен номером 6, как и предыдущий. Опечатка.)
Поскольку ΔADC и ΔCDB прямоугольны, то стороны AC и CB являются их гипотенузами, которые равны, так как ΔABC равнобедренный.
По теореме Пифагора находим их.
8) Записываем ответ.

Надеюсь, что доступно и понятно.