На отрезке ab длиной 20см отмечена точка d. найдите длину отрезков ad и bd, если отрезок bd на 4 см длиннее отрезка ad.

Пусть отрезок АD будет равен х
Тогда отрезок DB равен 4+х
4+х+х=20
2х=20-4
2x=16
x=8
8см-длина AD
8+4=12cm-BD

Sin² A + cos² A = 1

cos²A = 1 - sin²A

cos²A = 1 - (2√6/5)² = 1 - (24/25) = 25/25 - 24/25 = 1/25

cos A = √(1/25) = 1/5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Если решать геометрически, то синус угла А является отношением противолежащего углу А катета BC к гипотенузе AC. Косинусом угла А является отношение прилежащего к углу А катета AB к гипотенузе AC.

Если прилежащий катет относится к гипотенузе как 2√6 : 5, для вычисления синуса и косинуса угла А можно принять длину прилежащего катета = 2√6, а гипотенузу = 5. Т.к. прямоугольный треугольник с иными длинами сторон, но с таким же синусом того же угла будет подобен треугольнику с длиной прилежащего к углу катета = 2√6 и гипотенузой = 5. У подобных треугольников стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого, а их соответствующие углы равны.
BC = 2√6 см
AC = 5  см

по теореме Пифагора
BC² + AB² = AC²
(2√6)² + AB² = 5²
24 + AB² = 25
AB² = 1
AB = 1 (cм)

cos A = AB / AC
cos A = 1/5

Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы,  которые образуют 2 другие стороны треугольника с этой плоскостью.

Обозначим треугольник АВС. АС=ВС, угол С=90°

Проведенная плоскость и плоскость треугольника образуют двугранный угол, линейным углом которого являются два перпендикуляра к его ребру в точке С.  

Угол АСВ - прямой, ⇒АС- перпендикуляр в плоскости треугольника к линии пересечения плоскостей, НС - перпендикуляр, проведенный в проведенной плоскости к той же линии. 

Угол АСН =60°

АН - перпендикуляр к плоскости, НВ - проекция гипотенузы АВ на плоскость.

Угол АВН - искомый. 

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны 45°.

Примем катеты ∆ АВС равными а. Тогда гипотенуза

АВ=а:sin 45°=a√2

АН=а•sin60°=a√3/2

sinАВН=АН:АВ=a√3/2):a√2=0,61237

Это синус угла ≈37,76°