Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо один з його катетів дорівнює 8см , а проекція цього катета на гіпотенузу – 4см .

Катет = √(гипотенуза * проекцию) или катет² = гипотенуза * проекцию.

⟹ гипотенуза = катет² / проекцию.

8² : 4 = 16 см.

2-ой через подобие треугольников.

Катет является гипотенузой для своей проекции. Если проекция в 2 раза меньше катета, то этот катет в 2 раза меньше гипотенузы.

Ре­ше­ние.

а) Пусть се­че­ние пе­ре­се­ка­ет плос­кость верх­не­го ос­но­ва­ния по от­рез­ку MN Так как ос­но­ва­ния па­рал­лель­ны, то пря­мая  при этом М — се­ре­ди­на  зна­чит, MN — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  сле­до­ва­тель­но, N — се­ре­ди­на 

б) По­стро­им се­че­ние. Пусть Q и R — точки пе­ре­се­че­ния се­че­ния с пря­мы­ми  и  со­от­вет­ствен­но. Тогда они лежат на пря­мой MN. Пусть те­перь L и P — точки пе­ре­се­че­ния пря­мых AQ и CR (то есть се­че­ния) с реб­ра­ми  и  со­от­вет­ствен­но. Таким об­ра­зом, се­че­ние — ше­сти­уголь­ник ALMNPC по­лу­ча­е­мый из пря­мо­уголь­ни­ка AQRC от­ре­за­ни­ем от него двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков LMQ и NPR.

Так как ос­но­ва­ния приз­мы пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки со сто­ро­ной

Пусть OO₁ = x (см. чертеж)

Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:

O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)

SO₁ = 1 + x - высота конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота

В нашем случае:

V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)

Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1

f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!

Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:

V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π