Треугольник со сторонами 14 см, 13 см и 15 см вписан в окружность. найдите радиус окружности

Полупериметр треугольника
p = (13 + 14 + 15)/2 = 21 см
Площадь по формуле Герона
S² = 21*(21-13)*(21-14)*(21-15)
S² = 21*8*7*6 = 3*7²*2²*2*6 = 7²*2²*6²
S = 7*2*6 = 84 см²
Площадь через радиус описанной окружности
S = abc/(4R)
R = abc/(4S)
R = 13*14*15/(4*84) = 13*7*15/(4*42) = 13*7*5/(4*14) = 13*5/(4*2) = 65/8 см 
R = 65/8 см 

Основание высоты правильной пирамиды проецируется в центр описанной вокруг основания пирамиды окружности. 

Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, О - центр описанной окружности= точка пересечения диагоналей квадрата. 

 АС =8√2 ( по формуле диагонали квадрата). 

МО перпендикулярна основан, ⇒ перпендикулярна каждой прямой, проходящей в плоскости АВСD  через О. 

∆ МОС - прямоугольный.

OC=4√2

По т.Пифагора МС=√(MO²+CO*)=√(49+32)=9 

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее граней, которые являются равнобедренными треугольниками, 

иначе

Площадь боковой поверхности - произведение апофемы на полупериметр основания. 

 Высота МН грани ( апофема) является медианой и делит ВС пополам. По т.Пифагора 

МН=√(MB²-BH*)=√(81-16)=√65

S=h•MH=16•√65=16√65 (ед. площади)

Треугольники ВОС и АОD подобны по свойству трапеции
Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента подобия
4:9=k² 
k=√(4:9)=2:3
следовательно основания трапеции относятся, как 2:3
Проведем
высоту в треугольнике ВОС=h₁
высоту в треугольнике АОD=h₂
S АОD=h₂·АD:2
S ВОС=h₁·ВС:2

S АBCD=H(высота) AD+ВС:2= h₁·AD+h₂·AD+h₁·BC+h₂·BC
По свойству пропорции:
h₂:h₁=2:3
3h₂=2h₁
h₂=2h₁/3
S AOD=h₂·AD:2=2h₁/3·AD:2
9=2h₁/3·AD:2 |·2
18=2h₁/3·AD
2h₁/3=18:AD
h₁:3=9:AD
h₁·AD=3·9=27см²
Так как площади боковых треугольников у трапеции равны, то h₂·ВС=27см²

Подставим значения h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции 

S ABCD=h₁·AD+4+9+ h₂·BC=13+h₁·AD+h₂·BC
S ABCD=27+4+9+27=67см²