Периметр ∆ (р=24 см, стороны соотносятся как 3: 4: 5. найти стороны.);

Обозначения: тр - Треугольник.
в тетради то, что выше - записывать не надо. Думаю, догадаешься, какие знаки там нужны будут. тут записала такими обозначениями, чтобы писать удобнее было.

Дано:
Р тр = 24см
АВ= 3х
СН= 4х
НА= 5х
Найти:
АВ ; СН ; НА.

Решение:
Р тр = АВ + СН + НА

24 = 3х + 4х + 5х
24 = 12х
х = 2
АВ = 6 см
СН = 8 см
НА = 10 см

По условию: AB=6AD=DB=3BC=8 BF=FC=4AF┴CD

РЕШЕНИЕ
AF=1/2 * √(2*(AB*AB+AC*AC)-BC*BC)

CD=1/2 * √(2*(AC*AC+BC*BC)-AB*AB)
Рассмотрим треугольник COF он прямоугольный, т. к. по условию медианы пересекаются под прямым углом.
По свойству медиан, они пересекаясь делятся в состношении 2:1, следовательно:
CO=2/3 * CDOF=1/3 * AF
По теореме Пифагора CF*CF=OF*OF+CO*CO
Подставив все вышеперечисленные формулы в теорему Пифагора и приведя подобные слагаемые найдем, что АС=9,2 см.
Далее для нахождения площади воспользуемся формулой с полупериодом р=11,6 см

Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около него окружности.
Известно, что только в прямоугольном тр-ке центр описанной окружности лежит на одной из его сторон - гипотенузе, причём на её середине, так как он равноудалён от вершин треугольника.

Рассмотрим подробно.
Тр-ки АВР и АРС равнобедренные, т.к. РМ⊥АВ и РК⊥АС, ВМ=АМ и АК=КС, значит РМ и РК - высоты и медианы (признак равнобедренности тр-ка).
РМ и РК - биссектрисы тр-ков АВР и АРС, углы ВРА и АРС - смежные, значит РМ⊥РК.
Углы между соответственно перпендикулярными прямыми равны.
РМ⊥АВ, РК⊥АС, РМ⊥РК, значит АВ⊥АС ⇒ ∠А=90°.
Доказано.