Высота правильной пирамиды равна 2 корня из 3 а боковое ребро образует с плоскостью угол 45 градусов найти объём!

При угле в 45° высота пирамиды Н равна (2/3)h, где h - высота основания.
Сторона а основания равна: а = h/cos30° = Н√3 = 6.
Площадь основания So = a²√3/4 = =36√3/4 = 9√3.
V = (1/3)SoH = (1/3)*(9√3)*(2√3) = 18 куб.ед.

Скорее всего решение такое:
Опускаем высоту H с вершины пирамиды на основание. И находим расстояние от угла до высоты. Так как угол 45 градусов мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник.
  ⇒  .
Высота пирамиды H = x
Находим высоту основания h. 

Теперь находим сторону основания. Так как треугольник правильный, то высота h является медианой и биссектрисой. Катет лежащий напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.
 ⇒  
Находим площадь основания.

Значит так. Чертим прямоугольный треугольник. 
Решение: Рассмотрим треугольник ACH: Так как CH - высота,то этот треугольник прямоугольный. Следовательно CH - катет и мы находим его по теореме Пифагора: CH = √6^²-4^² = √36-16 = √20 = 2√5
Я предлагаю рассмотреть треугольник ABC и найти x через CB(не знаю можно ли так,как я решил,но я запишу)
AB=4+x
CB=√AB²-AC² = √(4-x)²-6² = √x²-10x-20 
Разбираем квадратичное уравнение:
x²-10x-20=0
D= 100+4*20=180 √D= 6√5
 x_{12} = 5+-3√5
x2 - не подходит,так как получается отрицательным,поэтому BH = 5+3√5.
ответ: 5+3√5

Афанасий Никитин — русский путешественник, купец и писатель, родился в 1442 году (дата не является документально подтверждённой) и скончался в 1474 или в 1475 году близ Смоленска. Родился в семье крестьянина Никиты, так что Никитин это, строго говоря, не фамилия путешественника, а его отчество: в то время у большинства крестьян не было фамилий.
 
В довольно молодом возрасте он стал купцом и посещал по торговым делам Византию, Крым, Литву и другие страны. Его коммерческие предприятия были довольно успешны: он благополучно возвращался на родину с заморским товаром.
Он получил от Великого князя Твери Михаила Борисовича грамоту, которая позволяла ему развернуть обширную торговлю в районе нынешней Астрахани. Некоторым историкам этот факт позволяет считать тверского купца тайным дипломатом и лазутчиком Великого князя, но документальных свидетельств этому предположению нет.
Афанасий Никитин начал своё путешествие весной 1468 года, отправившись водным путём мимо русских городов Клязьмы, Углича и Костромы. По плану, достигнув Нижнего Новгорода, караван первопроходца должен был из соображений безопасности присоединиться к другому каравану, который вёл Василий Папин, московский посол. Но караваны разминулись — Папин уже ушёл на юг, когда Афанасий прибыл в Нижний Новгород.
  
Тогда он дождался прибытия из Москвы татарского посла Хасанбека и уже с ним и другими купцами пошёл к Астрахани на 2 недели позже, чем было запланировано. Отправляться в плаванье одиночным караваном Афанасий Никитин посчитал опасным — в то время вдоль берегов Волги хозяйничали татарские банды. Караваны судов благополучно Казань и ещё несколько татарских поселений.

Но уже перед самым прибытием в Астрахань караван был ограблен местными разбойниками — это были астраханские татары под предводительством хана Касима, которого не смутило даже присутствие своего соотечественника Хасанбека. Разбойники отобрали у купцов весь товар, купленный, кстати сказать, в кредит. Торговая экспедиция была сорвана, два судна из четырёх Афанасий Никитин потерял. Дальше всё складывалось тоже не лучшим образом. Два оставшихся судна попали в Каспийском море в шторм, и их выбросило на берег. Возвращение на родину без денег и товара грозило купцам долговой ямой и позором.

Тогда купец решил поправить свои дела, вознамерившись заняться посреднической торговлей. Так началось знаменитое путешествие Афанасия Никитина, описанное им в своём литературном труде "Хождение за три моря".