Точка м-середина стороны ав треугольника авс. на отрезки см выбраны точки р и q так, что q=2рм. окозалось, что угол арм=90°. докажите, что вq=ас

Если провести перпендикуляр ВD к прямой СМ, то треугольники АРМ и ВDМ равны по гипотенузе и острому углу, значит:
1. РМ=МD и РD=2РМ=CQ, а отсюда CP=CQ+QP=PD+QP=QD
2.АР=ВД,
тогда треугольники АСР и BQD равны по двум катетам,тогда AC=BQ, т.е. BQ/АС=1.

Итак формула выглядит так: S= a+b/2*h (/ - это дробная черта. * - умножение, а- одно основание, в - второе основание. h - высота).
 Обозначим вершины трапеции, начиная с нижнего левого угла(там прямой угол).АВСД Угол А - прямой. Угол Д - 45 градусов.
Проведем СН - высоту к основанию АД. Следовательно угол СНД = 90 градусов. Рассмотрим  прямоугольник АВСН.( он прямоугольник, так ка трапеция такая и мы еще один угол прямоугольный нашли). Так как АВСН прямоугольник, то он и параллелограмм. Тогда ВС=АН=7( поо свойствам паралеллограма). Теперь найдем НД. НД = АС-АН. НД=9-7=2.
Рассмотрим треугольник АСН, он прямоугольный(мы вверху нашли его прямой угол).  Так как угол Д = 45 градусов по условию то треугольник равнобедренный.  НД=СH=2.
Теперь по записанной в самом начале формуле вычисляем: S = (9+7)/2*2.= 16.

 Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только одну.
 Доказательство :   предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.