Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 30°. найдите тангенс угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания.

По условию АВ=ВС=АС; ∠ОКМ=30°. 
ΔОМК- прямоугольный; ОМ- высота пирамиды.
Пусть ОМ=х , тогда МВ=2·ОМ=2х, ОВ²=МВ²-ОМ²=4х²-х²=3х². 
ВМ=х√3. ОК=0,5ВО=х√3/2.
tg0М=ОМ/ОК=2х/х√3=2/√3.
ответ : 2/√3.

Проведем через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с
CF.
Четырехугольник BCFD — параллелограмм ( BC∥ DF как основания трапеции, BD∥ CF по 
построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.
Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных 
прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции 
диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, т.е. треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. 
Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного 
треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то CN =
a+b
h =
2
где h — высота трапеции, a и b — ее основания

Мне проще эту задачу было решить с тригонометрии...
но, получив "красивый" ответ --- угол равен 45°,
захотелось найти более простое решение
(ведь не указано для какого класса решается задача и, возможно, тригонометрия автору еще не известна)))
не знаю--получилось ли проще...
т.к. один данный угол является половиной другого,
то очень хочется связать их в один треугольник...
если провести биссектрису угла в 30°, то
получим равнобедренный треугольник с углами при основании по 15°,
в нем хочется построить высоту...
но тогда и к биссектрисе провести перпендикуляр и получим
еще один равнобедренный треугольник с углом при вершине 30°)))
осталось рассмотреть получившиеся треугольники...
один из них (выделила желтым цветом) окажется равносторонним...
другой (прямоугольный) окажется равнобедренным...
(ярко желтые уголки--по 45°)