Сданной точки a до плоскости проведены две наклонные ab и ad и перпендикуляр ao. длины наклонных на плоскость равны 15 см и 20 см соответственно. найдите ao, если ob: od = 9: 16

обозначаем длину AO за x, получаем два прямоугольных треугольника AOB и AOD. В котором роль общего катета играет AO, гипотенузы (наклонные) известны, а OB и OD могут быть найдены по теореме Пифагора:

OB = корень(AB^2 - x^2) = корень(15*15-x*x)

OD = корень(AD^2 - x^2) = корень(20*20-x*x)

их отношение известно, то есть можем составить уравнение

корень(15*15-x*x)/корень(20*20-x*x) = 9/16

Попробуем преобразовать это уравнение и решить:

(1) возводим в квадрат обе стороны

(15*15-x*x)/(20*20-x*x) = (9*9)/(16*16)

умножаем на (20*20-x*x) и (16*16)

(16*16)*(15*15-x*x) = (9*9)*(20*20-x*x)

раскрываем скобки

16*16*15*15 - 16*16*x*x = 9*9*20*20 - 9*9*x*x

прибавляем к обеим сторонам 16*16*x*x - 9*9*20*20

16*16*15*15 - 9*9*20*20 = 16*16*x*x - 9*9*x*x

или

(16*16 - 9*9)*x*x = 16*16*15*15 - 9*9*20*20

окончательно:

x*x = (16*15 - 9*20)*(16*15 + 9*20)/(16-9)(16+9) = 25*9*16(4-3)*(4+3)/(7*25) = 9*16 = 144

или

x = 12 см - длина AO

0) Обозначим одну точку как H, это будет ортоцентр. А другую, как O, это будет центр описанной окружности.

Вспомним два свойства ортоцентра:

1. Точка, симметричная ортоцентру относительно прямой, содержащей сторону треугольника,  лежит на описанной около треугольника окружности.

2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной около треугольника окружности и диаметрально  противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне.

1) Построим точку H' симметричную H относительно прямой а. Для этого: проводим полуокружность с центром H и радиусом (p) большим, чем расстояние от H до прямой а. Из точек пересечения полуокружности с прямой, проводим окружности с радиусом (p). Они пересеклись в двух точках, одна H, другая H'.

По свойству ортоцентра (1.) H' лежит на описанной окружности.

2) Проведём окружность с центром в точке O и радиусом OH'. Это и есть описанная окружность. По условию, точки пересечения этой окружности с прямой a, будут вершинами треугольника. Обозначим эти вершины как A и B. Построим сторону AB.

3) Определим середину AB. Для этого: проводим окружности с центрами в точках A и B, с равными радиусами (r), которые больше, чем половина AB. Через точки пересечения этих двух окружностей проводим прямую q. Точку пересечения прямых q и а обозначим как M. Это и есть середина AB.

4) Построим последнюю вершину треугольника C. Проводим прямую k через точки M и H. Точку пересечения k с описанной окружностью обозначим, как H₁. По свойству ортоцентра (2.) точка H₁ диаметрально противоположная точке С. Проводим через точки H₁ и O прямую t, точку пересечения прямой t и окружности обозначим как С. Это и есть последняя вершина.

5) Построим стороны AC и BC треугольника ABC. Задание выполнено.

0) Обозначим одну точку как H, это будет ортоцентр. А другую, как O, это будет центр описанной окружности.

Вспомним два свойства ортоцентра:

1. Точка, симметричная ортоцентру относительно прямой, содержащей сторону треугольника,  лежит на описанной около треугольника окружности.

2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной около треугольника окружности и диаметрально  противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне.

1) Построим точку H' симметричную H относительно прямой а. Для этого: проводим полуокружность с центром H и радиусом (p) большим, чем расстояние от H до прямой а. Из точек пересечения полуокружности с прямой, проводим окружности с радиусом (p). Они пересеклись в двух точках, одна H, другая H'.

По свойству ортоцентра (1.) H' лежит на описанной окружности.

2) Проведём окружность с центром в точке O и радиусом OH'. Это и есть описанная окружность. По условию, точки пересечения этой окружности с прямой a, будут вершинами треугольника. Обозначим эти вершины как A и B. Построим сторону AB.

3) Определим середину AB. Для этого: проводим окружности с центрами в точках A и B, с равными радиусами (r), которые больше, чем половина AB. Через точки пересечения этих двух окружностей проводим прямую q. Точку пересечения прямых q и а обозначим как M. Это и есть середина AB.

4) Построим последнюю вершину треугольника C. Проводим прямую k через точки M и H. Точку пересечения k с описанной окружностью обозначим, как H₁. По свойству ортоцентра (2.) точка H₁ диаметрально противоположная точке С. Проводим через точки H₁ и O прямую t, точку пересечения прямой t и окружности обозначим как С. Это и есть последняя вершина.

5) Построим стороны AC и BC треугольника ABC. Задание выполнено.