12) на сторонах ab, bc, cd и ad ромба abcd взяты точки p, k, h, m соответственно. каждая из прямых pm, kh, pk параллельна одной из осей симметрии ромба. диагональ ac пересекает отрезок pm в точке e, а отрезок kh в точке t а) докажите, что диагонали четырехугольника epкt равны б) определите вид четырёхугольника mpkh.

A)

1) Симметриями ромба являются его диагонали. Значит, PM || BD , KH || BD , PK || AC .

Так как PM || BD , KH || BD , то PM || KH , РK || AC

Значит, четырёхугольник EPKT - параллелограмм

По свойству ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны =>

AC перпендикулярно BD

К тому же PM || BD , KH || BD

Значит, отрезки KH и PM перпендикулярны отрезку AC

PK || AC, KH || PM , KH и PM перпендикулярны отрезку AC

Из всего этого следует, что параллелограмм EPKT является прямоугольником

По свойству прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать

б)

Так как ромб - это симметричная фигура
следует, что относительно диагоналей AC и ВD происходит симметрия =>

∆ ABC = ∆ АСD

Из первого пункта было сказано, что EPKT является прямоугольником

Значит, прямоугольник EPKT симметрично накладывается на четырёхугольник METH, которые вследствие симметричности является также прямоугольником. А значит, весь четырехугольник МРKH является прямоугольником.

Для точности докажем, что точки Р и М, К и Н симметричны относительно диагонали АС

∆ АРЕ = ∆ АЕМ - по катету и острому углу ( угол ВАС = угол САD - по свойству ромба ; АЕ - общая сторона )
Значит, РЕ = ЕМ

Аналогично доказывается, что КТ = ТН . Поэтому точки Р и К соответственно симметричны точкам М и Н относительно диагонали АС.

ОТВЕТ: прямоугольник

Ромб ABCD симметричен относительно диагоналей AC, BD.

PM || BD || KH, PK||AC

(Если точки находятся по разные стороны от диагонали, то, очевидно, отрезок, соединяющий точки, пересекает диагональ и не может быть ей параллелен.)

1) Диагонали ромба перпендикулярны, AC⊥BD. Прямые, параллельные перпендикулярным, перпендикулярны*, PM⊥AC, KH⊥AC, PK⊥BD. Смежные стороны EPKT лежат на перпендикулярных прямых, EPKT - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны.

2) Стороны ромба равны, диагональ делит ромб на равнобедренные треугольники. Прямая, параллельная диагонали, отсекает подобный равнобедренный треугольник, PB=BK, MA=AP, KC=CH. Из равных длин вычитаем равные, AP=KC. Противоположные углы ромба равны, MA=AP=KC=CH => △MAP и △KCH равны по двум сторонам и углу между ними, PM=KH. MPKH - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны). PM||BD, PK⊥BD => PM⊥PK. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник.

____________________________________________________________

* Соответственные углы при параллельных равны. Если секущая пересекает одну параллельную под прямым углом, то и другую она пересекает под прямым углом.

Объяснение:

1.  Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

∠70°=∠70° ⇒

a║b

2. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180, то то прямые параллельны.

∠110+∠70=180°⇒

c║d

3.  Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

∠a=∠a

MD║|NK

4.  Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

∠90=∠90

m║n

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

BC║AD

AB║CD

6. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

∠EFL=∠FLK ⇒ EF║LK

∠EKF=∠KEL⇒ FK║EL

7.  Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

∠NPM=∠PMQ ⇒NP║MQ

∠NMP=∠MPQ⇒NM║PQ

8. ΔAOB=ΔCOD (по двум сторонам и углу между ними)⇒

∠BAO=∠ODC если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

AB║CD

9. ΔOXY=ΔOYZ по трем сторонам ⇒

∠XYO=∠YOZ ⇒ XY║OZ

∠XOY=∠OYZ⇒ OX║YZ

10.

UR║ST (внутренние накрест лежащие углы равны)

ΔRUO=ΔOST (по стороне и двум прилежащим к ней углам) ⇒

∠TRU=∠STR ⇒ RS║UT

Пусть треугольник с углом А = 90 и основанием АС.
Угол ВСА = 45 градусов.
косинус угла 45 = АС : ВС  ( прилежащий катет к гипотенузе )
косинус 45 = корень из 2 : 2
корень из 2 : 2 = АС : 10
АС = (10* корень из 2) : 2 = 5 корней из 2
По теореме Пифагора найдем ВА 
ВА^2 = 100 - 50
ВА=корень из 50 = 5 корней из 2
Площадь прямоугольного треугольника равна 1/2 произведения катетов ( 1/2 *a*b )
ВА и АС - катеты, ВС - гипотенуза, значит
S = 1/2 * 5 корней из 2 * 5 корней из 2
S = 1/2 * 50 = 25.
( Если есть наименование (см,м,дм) , не забудь поставить квадрат! )